Grenzwertberechnung (Reihe) Sinus

Question

Aufgabe:

Guten Abend zusammen,

Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3+\sqrt{\exp \left(\sin \left(n^{-1}\right)\right)}}\right)^{k} \)

Ich bin gerade dabei, den Grenzwert der folgenden Reihe zu bestimmen. Ich habe mir dazu einigen Gedanken gemacht:

Ich schaue mir zuerst den Ausdruck: \( \sqrt{exp(sin(n^-1))} \) an.

durch vereinfachen gilt: \( \sqrt{exp(sin(n^-1))} \) =  \( \sqrt{exp(sin(1/n))} \)

Für n gegen unendlich geht der Term \( \frac{1}{n} \) gegen 0.

und sin(0) = 0

also gilt: \( \sqrt{exp(sin(n^-1))} \) = \( \sqrt{exp(0)} \) = \( \sqrt{e^0} \) = \( \sqrt{1} \) = 1 ??

Mein Gedanke:

Die Reihe\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{3+\sqrt{exp(sin(n^-1)}})^k} \) würde dann für n gegen unendlich gegen 4/3 konvergieren. Warum?

Wie eben gezeigt geht \( \sqrt{exp(sin(n^-1))} \) gegen 1 also gilt:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{3+1})^k} \)

Dies ist die geometrische Reihe, also kann man folgendes anwenden um den Grenzwert zu berechnen: (da q=1/4<1)

\( \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \) = \( \frac{4}{3} \)

Für mich ergibt das alles sinn, aber es kann sein, dass ich einige generelle Rechenfehler habe bzw. meine Herangehensweise nicht korrekt ist.

Es wäre super lieb, wenn mir einer sagen könnte, ob das alles so sinn macht.

Vielen Dank!

Answer 1

Im Weiteren schreibe ich der Einfachheit halber

\(\boxed{g(n) = \sqrt{e^{\sin \frac 1n}} = e^{\frac 12\sin \frac 1n}}\)

Also hast du es zu tun mit$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac 1{3+g(n)}\right)^k = \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\left(\frac 1{3+g(n)}\right)^k$$

Das ist ein sogenannter iterierter Grenzwert.

Was du nun machst, nennt man das Vertauschen der Grenzwerte. Du willst zuerst den Grenzwert bzgl. \(n\) berechnen und dann den Grenzwert bzgl. \(m\).

Das Vertauschen der Grenzwerte funktioniert in deinem Fall, da die Voraussetzungen des Satzes über das Vertauschen von Grenzwerten erfüllt sind.

Du hast nur einen kleinen Fehler gemacht beim Auswerten der geometrischen Reihe:

$$\sum_{\color{blue}{k=1}}^{\infty} \left(\frac 1{4} \right)^k= \frac 1{1-\frac 14}-1 =\boxed{\frac 13}$$

In deinem Fall kommst du aber ohne das manchmal gefährliche Vertauschen von Grenzwerten aus. Da \(1< g(n)\), konvergiert die geometrische Reihe für alle \(n\):

$$\sum_{k=1}^{m}\left(\frac 1{3+g(n)}\right)^k= \frac 1{1-\frac 1{3+g(n)}}-1 = \frac 1{2+g(n)}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 13$$

Nachtrag:

Falls du maßtheoretisch bewandert bist, kannst du auch mit dem Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz argumentieren. Denn wenn \(\mu_0\) das Zählmaß auf \(\mathbb N\) ist, dann lässt sich dein Grenzwert so schreiben:

$$\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb N}f_n(k)\;d\mu_0(k) \text{ mit } f_n(k) = \left(\frac 1{3+g(n)}\right)^k$$