Menge Stetiger Funktionen und ihre Norm

Question

Aufgabe:

Hallo

wäre toll wenn es für folgende Aufgabe ( Normen ) Hilfe geben würde :

Sei C[0,1] die Menge stetiger Funktionen f : [0,1] → R. Wir definieren zwei Normen auf C[0,1] :

|| f || ₁  = \( \int\limits_{0}^{1} \)| f(x) dx, || f || _oo =  max |f(x)|

Zeigen Sie, dass für alle f ∈ C[0,1] , || f ||₁ ≤ || f ||_oo gilt.

Das Problem ist, dass ich || f || oo =  max |f(x)| nicht bestimmen kann. (Supremumsnorm)

Aber || f ||₁ = \( \int\limits_{0}^{1} \)| f(x) dx würde ich wie folgt abschätzen :

0 ≤ \( \int\limits_{0}^{1} \)| f(x)| dx ≤ (1-0) sup |f(x)|

0, da der Graph von |f(x)| immer positiv ist und das Int. von |f(x)| wird maximal wenn

|f(x)| = sup|f(x)|

Würde mich freuen wenn jemand da irgendwie helfen könnte.

LG

Answer 1

Du hast die Ungleichung praktisch schon gezeigt.

Da \(f\) stetig auf dem Intervall [0,1] ist, wird das Supremum angenommen, also

$$||f||_1 \leq \sup_{x\in[0,1]}|f(x)| = \max_{x\in[0,1]}|f(x)| =||f||_{\infty}$$

Comments

entschuldige aber mein Tutor meinte nun, dass ein Schritt fehlt zwischen

|| f || ₁  ≤ sup | f(x) |    #

Kann man dies nun so lösen : (?) Man bestimmt das Maximum allgemein und nimmt von diesem den Betrag. Diese Zahl entspricht dem Supremum dann sowieso, da f ja stetig.

# folgt aus:

f´(x) = 0 =>  x_m mit f´´(x_m ) > 0 => Maxima und da f stetig ist entspricht das Maxima dem Supremum. Damit ist f nach oben abgeschätzt/begrenzt durchs Maximum/Supremum.

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Du kannst nicht per \(f'\) argumentieren, da die betrachteten Funktionen auf dem Intervall (0,1) nicht differenzierbar sein müssen.

Es ist übrigens Ansichtssache, ob ein Schritt fehlt. Wenn dein Tutor so pingelig ist, muss er auch ganz genau vorher deklarieren, welche mathematischen Fakten über stetige Funktionen und Integrale benutzt werden dürfen.

Die erste Ungleichung \(||f||_1 \leq \sup_{x\in [0,1]}|f(x)|\) ergibt sich wie folgt:

Stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall sind beschränkt und nehmen ihr Supremum an. Da f stetig ist, ist auch \(|f|\) stetig. Daher existiert \(\sup_{x\in [0,1]}|f(x)| = \max_{x\in [0,1]}|f(x)|\). Außerdem gilt dann automatisch

\(|f(x)| \leq \sup_{x\in [0,1]}|f(x)| = \max_{x\in [0,1]}|f(x)|\).

Weiterhin gilt dann für das Integral:

\(\int_0^1|f(x)|\,dx \leq \int_0^1\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|\, dx = \sup_{x\in [0,1]}|f(x)|\).

Man könnte natürlich gleich mit dem Maximum statt mit dem Supremum argumentieren.

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Danke ich probier's Mal mit dem Integral. Müsste ja eigentlich auch stimmen.