Ableitung mit Kettenregel und Gradienten

Question

Aufgabe:

Sei \( \mathbb{R}_{+}=\{x \in \mathbb{R} \mid x>0\} \) die Menge der positiven reellen Zahlen. Definiere
\( \left.\mathrm{f}: \mathbb{R}_{+}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \rightarrow y+\sqrt{x^{2}+z}, \mathrm{~g}:\right] 1, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}^{3}: \mathrm{t} \rightarrow(\mathrm{t}, 2+\sin (\mathrm{t}), \ln (\mathrm{t}))^{\top}\right. \)
Für die zusammengesetzte Funktion \( f \circ g:] 1, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) gilt
\( f(g(t))=2+\sin (t)+\sqrt{t^{2}+\ln (t} \)
Nach der Kettenregel gilt (beachte \( \left.\ln (\mathrm{t})^{\prime}=1 / \mathrm{t}\right) \)
\( J(f \circ g)(t)=J f(g(t)) \cdot J g(t) \)
Dabei gilt \( \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+z}}\right) \) sowie \( \mathrm{Jg}(\mathrm{t})=(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top} \) und daher
\( \mathrm{J}(\mathrm{f} \circ \mathrm{g})(\mathrm{t})=\left(\frac{t}{\sqrt{t^{2}+\ln (t}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{t^{2}+\ln (t)}}\right) \cdot(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top}=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+\ln (t}}+\cos (t)+\frac{1}{2 \cdot t \cdot \sqrt{t^{2}+\ln (t)}} \)

Problem:

Kann mir einer erklären, wie man auf \( \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\nabla \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z}}, 1, \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2}+z}}\right) \) sowie \( \mathrm{Jg}(\mathrm{t})=(1, \cos (\mathrm{t}), 1 / \mathrm{t})^{\top} \) kommt ? Wie hat man die Ableitungen bestimmt ? Ich verstehe leider nur Bahnhof.

Answer 1

Du bildest die partiellen Ableitungen von

f(x, y, z) = y + √(x^2 + z)

f'x(x, y, z) = x/√(x^2 + z)
f'y(x, y, z) = 1
f'z(x, y, z) = 1/(2·√(x^2 + z))

Weiterhin bildest du die Ableitungen der Koordinaten von

g(t) = [t, 2 + SIN(t), LN(t)]

g'(t) = [1, COS(t), 1/t]

Solltest du das alleine nicht schaffen, hilft z.B. https://www.ableitungsrechner.net

Comments

Kannst Du mir vielleicht nur die Ableitung von f'x(x, y, z) in Schritte erklären, also wie Du auf x/√(x2 + z) kommst.

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Ich hatte extra den Link zu https://www.ableitungsrechner.net/ falls du Schwierigkeiten hast.

Text erkannt:

\( \begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\sqrt{x^{2}+z}+y\right] \\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\sqrt{x^{2}+z}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[y] \\ =\frac{1}{2}\left(x^{2}+z\right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}+z\right]+0 \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[z]}{2 \sqrt{x^{2}+z}} \\ =\frac{2 x+0}{2 \sqrt{x^{2}+z}} \\ =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+z}}\end{array} \)

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Sorry, mein Fehler, habe nicht gesehen, dass sich hinter dem Link ein Rechner verbirgt, dachte, Du hättet aus einem Link zitiert. Habe deine Antwort zu schnell überflogen, sorry.