Eine zufällig ausgewählte Person ist Autobesitzer und bevorzugt die Farbe schwarz

Question

Aufgabe:

60% aller Deutschen besitzen ein Auto. Eine repräsentative Umfrage zu den bevorzugten Autofarben ergab die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte

Farbe         Silber    Schwarz    Blau  Rot  Sonstige

Anteil (%)   45              30            10       5        10

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse

A: Eine zufällig ausgewählte Person ist Autobesitzer und bevorzugt die Farbe schwarz

B: Unter 20 Autobesitzern bevorzugt höchstens einer die Farbe Rot

C: Von 8 Autobesitzern bevorzugen mindestens 6 die Farbe Silber

b) Wie viele Autobesitzer müssen mindestens gefragt werden, um mit mindestens 99% Sicherheit mindestens einen zu finden, der die Farbe Rot bevorzugt?

Problem/Ansatz:

zu a)

P(A) = 30/100

P(B)= P(X<=1)= (20 über 1) *0.05^1*0.95^19

P(C)= P(X>=6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)= (8 über 6)*0.45^6*0.55^2

zu b)

P(X>=1) >= 0.99

1- P(X=0) >= 0.99

1- (n über 0) 0.05^0 * 0.95^n >=0.99

1- 1*             1* 0.95^n >= 0.99

- 0.95^n >= -0.01

0.95^n <= 0.01  | ln

n *ln(0.95) <= ln (0.01)

n >= ln(0.01)/ln(0.95)

n >= 89,78

Es müssen mindestens 90 Autobesitzer befragt werden

Answer 1

60% aller Deutschen besitzen ein Auto. Eine repräsentative Umfrage zu den bevorzugten Autofarben ergab die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte

Farbe       Silber   Schwarz   Blau Rot Sonstige
Anteil (%)  45              30            10      5        10

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse

A: Eine zufällig ausgewählte Person ist Autobesitzer und bevorzugt die Farbe schwarz

P(A) = 0.6*0.3 = 0.18

B: Unter 20 Autobesitzern bevorzugt höchstens einer die Farbe Rot

P(höchstens einer) = 0.95^20 * 20*0.05*0.95^19 = 0.1353

C: Von 8 Autobesitzern bevorzugen mindestens 6 die Farbe Silber

P(X >= 6) = ∑ (x = 6 bis 8) ((8 über x)·0.45^x·0.55^(8 - x), x, 6, 8) = 0.08846

b) Wie viele Autobesitzer müssen mindestens gefragt werden, um mit mindestens 99% Sicherheit mindestens einen zu finden, der die Farbe Rot bevorzugt?

1 - (1 - 0.05)^n >= 0.99 --> n ≥ 90 Personen

Answer 2

60% aller Deutschen besitzen ein Auto. Eine repräsentative Umfrage zu den bevorzugten Autofarben ergab die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte

Farbe       Silber   Schwarz   Blau Rot Sonstige

Anteil (%)  45              30            10      5        10

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse

A: Eine zufällig ausgewählte Person ist Autobesitzer und bevorzugt die Farbe schwarz

0,6*0,3

B: Unter 20 Autobesitzern bevorzugt höchstens einer die Farbe Rot

1- 0,95^20 - 20*0,05*0,95^19

C: Von 8 Autobesitzern bevorzugen mindestens 6 die Farbe Silber

P(X>=6) = 1-P(X<=5)  = 1-P(X=0) -P(X=1)- ... -P(X=5)

b) P(X>=1) = 1-P(X=0) >=0,99

1- 0,95^n >= 0,99

n>= ln0,01/ln0,95

n >= 90