unabhängigen Werfen einer fairen Münze

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( n \geq 1 \) fest. Beim \( n \)-maligen unabhängigen Werfen einer fairen Münze betrachtet man die Ereignisse
\( \begin{aligned} A_{k} & \widehat{=} \text { "Kopf im } k \text {-ten Wurf", }, \quad k=1, \ldots, n, \\ B & \widehat{=} \text { "die Anzahl von } \boldsymbol{K o p f} \text { ist gerade" } . \end{aligned} \)
Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum an.
1) Man berechne \( \mathbb{P}\left(A_{i}\right) \) für \( i=1, \ldots, n \). Ist die Familie \( \left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) unabhängig?
2) Man berechne \( \mathbb{P}(B) \).
3) Man berechne \( \mathbb{P}\left(B \mid A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n}\right) \) in Abhängigkeit von \( n \).
4) Gilt die Gleichung
\( \mathbb{P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n} \cap B\right)=\mathbb{P}\left(A_{1}\right) \ldots \mathbb{P}\left(A_{n}\right) \mathbb{P}(B) ? \)
Ist die Familie \( \left\{A_{1}, \ldots, A_{n}, B\right\} \) unabhängig? Interpretieren Sie das Ergebnis.

Answer 1

1) Geometrische Verteilung. Was musst du dann zeigen für die unabhängigkeit der Familie?

2) Mach eine Fallunterscheidung, verwende die kumulierte Binomialverteilung und vereinfache den Ausdruck.

3) Sollte nicht das Problem sein, wenn du 1 und 2 hast.

4) Mach dir Klar, was der Schnitt aus allen Ereignissen bedeutet und wann das gilt bzw. nicht gilt.

Comments

Was genau ist geometrisch verteilt?

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Ich habe Kopf im k-ten Wurf als k-1 Würfe kein Kopf interpretiert. Das kann natürlich auch falsch interpretiert sein.

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Ansonsten wäre die 1 ziemlich langweilig.

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Diese Interpretation halte ich für falsch.

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Dann haben wir nach deiner Interpretation fur jedes Ai die Wahrscheinlichkeit 1/2 und dann kann sich ja der Fragesteller überlegen, was die Wahrscheinlichkeit der Schnitte aller Ergebnisse Ai ist und er sollte nochmal sicherstellen, wie das Ereignis genau zu verstehen ist.