Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( n \geq 1 \) fest. Beim \( n \)-maligen unabhängigen Werfen einer fairen Münze betrachtet man die Ereignisse
\( \begin{aligned} A_{k} & \widehat{=} \text { "Kopf im } k \text {-ten Wurf", }, \quad k=1, \ldots, n, \\ B & \widehat{=} \text { "die Anzahl von } \boldsymbol{K o p f} \text { ist gerade" } . \end{aligned} \)
Geben Sie den Wahrscheinlichkeitsraum an.
1) Man berechne \( \mathbb{P}\left(A_{i}\right) \) für \( i=1, \ldots, n \). Ist die Familie \( \left\{A_{1}, \ldots, A_{n}\right\} \) unabhängig?
2) Man berechne \( \mathbb{P}(B) \).
3) Man berechne \( \mathbb{P}\left(B \mid A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n}\right) \) in Abhängigkeit von \( n \).
4) Gilt die Gleichung
\( \mathbb{P}\left(A_{1} \cap A_{2} \cap \ldots \cap A_{n} \cap B\right)=\mathbb{P}\left(A_{1}\right) \ldots \mathbb{P}\left(A_{n}\right) \mathbb{P}(B) ? \)
Ist die Familie \( \left\{A_{1}, \ldots, A_{n}, B\right\} \) unabhängig? Interpretieren Sie das Ergebnis.
