Extremwertaufgabe / Länge zwischen zwei Punkten

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -0,5x²+ 2x + 3 und die Funktion g mit g(x)= 0,2x² - 1,5x + 3..

Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten S₁(0/3) und S₂ (5/0,5).

Untersucht wirdd die Länge der Strecke zwischen P(u/f(u)) und Q(u/g(u)), wobei für u gilt 0 ≤ u ≤ 5

a) Berechnen Sie die Länge der Strecke für u=0, u=1,5 und u=5.

b) Bestimmen Sie u so, dass diese Strecke die maximale Länge hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe meine Zielfunktion erstmal zusammengestellt indem ich f(u)-g(u) gerechnet habe.

Die Zielfunktion lautet: -0,7u² + 3,5u.

Bei a): Wenn ich für u=0 und u=5 einsetze ist es ja eigentlich klar, dass 0 herauskommen sollte, da das Ganze im Intervall [0;5] gilt. Aber wenn ich 1,5 oder 5 für u einsetze komme ich auf falsche Zahlen.

Bei b) ist es genau dasselbe Problem. Ich hab die richtige Zielfunktion und habe auch für das maximale u=2,5 herausbekommen, was laut meiner Lösung auch stimmt. Jedoch ist meine Länge komischerweise falsch. Laut Lösung sollte bei u=2,5 eine Länge von 4,375 herauskommen. Ich komme jedoch auf 3,125.

Answer 1

Aber wenn ich 1,5 oder 5 für u einsetze komme ich auf falsche Zahlen.

Dann hast du dich verrechnet.

Laut Lösung sollte bei u=2,5 eine Länge von 4,375 herauskommen. Ich komme jedoch auf 3,125.

Dann hast du dich verrechnet.

Weil ich deine Rechnung nicht sehe, kann ich dir aber nicht sagen, wo genau dein Fehler liegt. Sowohl deine Zielfunktion, als auch die maximale Länge von 4,375, sind korrekt.

Answer 2

Hallo,

irgendwo hast du dich offenbar verrechnet. Bei mir sieht das so aus:

\(h(x)=f(x)-g(x)=-0,7x^2+3,5x\\ h(1,5)=-0,7\cdot 1,5^2+3,5\cdot 1,5=-1,575+5,25=3,675\\ h(2,5)=-0,7\cdot 2,5^2+3,5\cdot 2,5=-4,375+8,75=4,375\)

Vielleicht siehst du jetzt deinen Fehler.

Gruß, Silvia

Answer 3

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -0,5x^2 + 2x + 3 und die Funktion g mit g(x)= 0,2x^2 - 1,5x + 3.

Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten S1(0/3) und S2 (5/0,5). Untersucht wird die Länge der Strecke zwischen P(u/f(u)) und Q(u/g(u)), wobei für u gilt 0 ≤ u ≤ 5

a) Berechnen Sie die Länge der Strecke für u=0, u=1,5 und u=5.

d(x) = (- 0.5·x^2 + 2·x + 3) - (0.2·x^2 - 1.5·x + 3) = 3.5·x - 0.7·x^2

d(0) = 3.5·0 - 0.7·0^2 = 0
d(1.5) = 3.5·1.5 - 0.7·1.5^2 = 3.675
d(5) = 3.5·5 - 0.7·5^2 = 0

b) Bestimmen Sie u so, dass diese Strecke die maximale Länge hat.

d'(x) = 3.5 - 1.4·x = 0 --> x = 2.5

d(2.5) = 3.5·2.5 - 0.7·2.5^2 = 4.375

Wenn du statt 4.375 nur 3.125 heraus hast, hast du in der Funktionsgleichung evtl. 3 statt 3.5 geschrieben.