Extremwertaufgabe Lampe Hohe

Question

Aufgabe:

Eine Lampe mit der Lichtstärke L befindet sich in einer Höhe h über dem Punkt A auf einem Tisch. Auf dem Tisch liegt ein Buch, das möglichst gut beleuchtet werden soll. Die Beleuchtungsstärke E in einem Punkt P des Buches im Abstand a=50cm von A beträgt E=L* (sin(φ)/r²)

Bestimme die optimale Lampenhöhe h!

Problem/Ansatz:

Was bedeutet L? Und wie stelle ich die Bedinungen/Formeln auf?

Lösung h

Comments

L ist die Lichtstärke der Lampe. Interessanter sind die Fragen: Was ist φ? Was ist r?

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ich habe die Aufgabe so verstanden:

Frage: habt Ihr schon Optimierung mit dem Laplace-Multiplikator durchgenommen?

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Richtig aufgezeichnet nur spiegelverkehert. Nein haben mir nicht nur reine Extremwertaufgaben mit Hauptbedingungen und Nebenbedingungen.

Answer 1

Hallo,

nach Pythagoras ist \(r^2 = 50^2 + h^2 \). Weiter gilt \(\sin \varphi = h/r\). Jetzt substituiere ich noch $$x = \frac hr = \sin \varphi$$und forme den Pythagoras etwas um$$\begin{aligned} r^2 &= 50^2 + h^2 &&|\, \div r^2\\ 1 &= \frac{50^2}{r^2} + \left( \frac hr\right)^2 &&\left|\, - \left( \frac hr\right)^2 \right.\\  1 - \left( \frac hr\right)^2  &= \frac{50^2}{r^2} &&\left|\, \div 50^2 \right.\\ \frac 1{50^2}  \left( 1 - \left( \frac hr \right)^2 \right) &= \frac 1{r^2} && \left|\, \text{Seiten tauschen} \right.\\ \frac 1{r^2} &= \frac 1{50^2} \left( 1 - \left( \frac hr \right)^2 \right) &&\left|\, \frac hr = x \space \text{(s.o.)} \right. \\&= \frac 1{50^2} (1-x^2)\end{aligned}$$zu maximieren ist$$E = L \cdot \frac{\sin \varphi}{r^2} \to \max$$Einsetzen gibt dann$$E =  \frac L{50^2} x(1-x^2)$$Das war der Sinn dieser Umformung, so einen einfachen Ausdruck zu bekommen, der sich leicht nach \(x\) ableiten lässt:$$E' = \frac L{50^2} (1-3x^2) \to 0 \implies x_{\text{opt}} = \frac 13 \sqrt 3 = \sin \varphi$$Damit liegt der Winkel \(\varphi \) fest. Jetzt setze das in die Gleichung für \(r^2\) ein$$\frac 1{r^2} = \frac 1{50^2}\left(1 - \frac 13\right) \implies r^2 = \frac 32 \cdot 50^2$$und schlussendlich noch \(h\) via Pythagoras berechen:$$h = \sqrt{r^2 - 50^2} = 50\cdot \frac 12 \sqrt 2 = 25 \sqrt 2 \approx 35,6$$

Comments

Vielen Dank! Doch woher kommt oben das 1 her, und warum kann man ganz oben x substituieren? Bzw. wie haben Sie den Pythagoras umgeformt?

LG

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Doch woher kommt oben das 1 her

ich habe die Gleichung mit dem Pythagoras schlicht durch \(r^2\) geteilt. Das Ziel der Aktion war, den Term \(1/r^2\) zu ersetzen, so dass die Gleichung nur noch von \(h/r=x\) abhängig ist.

warum kann man ganz oben x substituieren?

Du kannst substituieren, was immer Du willst. Mathematisch gesehen änderst Du ja nichts und gibst dem entsprechenden Term (hier \(h/r\)) lediglich einen neuen Namen (hier \(x\)). Das ist so einfacher zu lesen.

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Vielen Dank! Jedoch verstehe ich den Schritt 2 auf 3 nicht ganz. (pythagoras)

LG

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Jedoch verstehe ich den Schritt 2 auf 3 nicht ganz. (pythagoras)

Du solltest mehr Algebra üben ;-)

Ich habe es noch mal ausführlicher hin geschrieben (s.o.)

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Bem.: so wie ich es oben gelöst habe, wirst Du es wahrscheinlich nicht in der Schule machen. Es gehört auch sehr viel Erfahrung dazu, zu 'sehen', dass man diese Gleichung auf die Abhängige \(h/r\) reduziern kann.

Normalerweise würdest Du z.B. das \(r\) aus der Nebenbedingung (Pythagoras) isolieren$$r = \sqrt{50^2 + h^2}$$ und dies in die Hauptbedingung einsetzen$$E = L \cdot \frac{h}{(50^2 + h^2)^{3/2}}$$und dieses Ding nach \(h\) ableiten zu müssen, wollte ich vermeiden!

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Vielen herzlichen Dank! :-)

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Noch was ... weil wir gerade dabei sind ;-)

Wenn Du die Aufgabe 'klassisch' rechnest, so kommt am Ende \(h = \sqrt{1250}\) raus. Ist natürlich das gleiche Ergebnis wie meins, es ist halt irgendeine Zahl.

Aber (!) das wesentliche der Aufgabe sieht man dabei nicht. Das Wesentliche ist, dass \(\sin \varphi\) und damit \(\varphi\) völlig unabhängig von den 50cm sind. D.h. es existiert hier ein 'optimaler' Beleuchtungswinkel, der immer derselbe ist.

Das sieht man oben bei meiner Variante daran, dass bereits ein optimales \(h/r\) heraus kommt, bevor ich die 50cm einsetze.

Versuche die Aufgabe mal durchzurechnen, wenn $$E = L \cdot \frac{\sin \varphi}{r}$$wäre oder sogar allgemein mit $$E = L \cdot \frac{\sin \varphi}{r^n}, \quad n \in \mathbb N$$Wenn Du das schaffst, so wirst Du sehen, dass immer ein fester Wert für \(\sin \varphi\) heraus kommt, und dieser Wert einer festen Regel folgt.

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Top :)