Zeigen Sie, dass jede offene Kugel in R n einen C 1 -Rand hat

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (5 Punkte)
(a) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass jede offene Kugel in \( \mathbb{R}^{n} \) einen \( C^{1} \)-Rand hat.
(b) (4 Punkte) Sei \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) eine Menge mit \( C^{1} \)-Rand und \( U, h \) wie oben. Zeigen Sie, dass
\( (\partial D) \cap U=\{x \in U: h(x)=0\} \).

Bräuchte hier Hilfe..
Das weiß ich, aber ich weiß nicht was ich damit mache

Text erkannt:

Sei \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) offen. Man sagt, dass \( D \) einen \( C^{1} \)-Rand hat, falls zu jedem \( a \in \partial D \) eine offene Umgebung \( U \) von a und eine Funktion \( h \in C^{1}(U) \) existieren mit \( D \cap U=\{x \in U: h(x)<0\} \) und \( \operatorname{grad} h(x) \neq 0 \) für alle \( x \in U \).

Comments

Wie wurde bei euch der Begriff der offenen Kugel eingeführt?

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Ja wurde eingeführt.

Answer 1

(a) O.V.d.A. können wir uns auf den offenen Einheitsball \( B\left( 0, 1\right) \subset \mathbf{R}^{n} \) beschränken. Sei nun \( a \in \partial B( 0, 1) \)
und \( U = B\left( a, 1 / 2\right) \). Dann ist
\(\begin{aligned} h\colon U \to \mathbf{R}, \quad h( x) = 1 - \left\| x\right\|_{2} \end{aligned}\)
eine Funktion mit
\(\begin{aligned}   B\left( 0, 1\right) \cap U = \{ x \in U\mid h( x) < 0\} \end{aligned}\)
und \(\nabla f(x) \neq 0\) wie gefordert.

(b) Sei \( a\in \partial D \cap U\) beliebig, es gilt also \( h( a) \geqslant 0\). Dann existiert eine Folge \( x_n \to a\) mit \( x_{ n}  \in D \cap U\) und somit folgt aufgrund der Stetigkeit von \( h\)
\(\begin{aligned} \lim_{n \to\infty} h( x_{ n} )  = h( a)  \geqslant 0 \implies h( a) = 0 \end{aligned}\)
da \( h( x_{ n} ) < 0\) für alle \( x _{ n} \).

Für die andere Inklusion sei \( x \in U\) mit \( h( x)  = 0\) und sei \( B\left( x, \varepsilon\right) \) ein beliebig kleiner Ball um \( x\) (der ganz in \(U\) enthalten ist). Würde nun gelten, dass
\(\begin{aligned} \forall y \in B\left( x, \varepsilon\right) \colon h( y) \geqslant 0 \end{aligned}\)
so hätte \( h\) in \( x\) ein lokales Extremum woraus \( \nabla f( x) = 0 \) folgen würde, ein Widerspruch. Insbesondere existieren also \( y _{ 1} , y_{ 2}  \in B\left( x, \varepsilon\right) \)
mit \( h( y _{ 1} ) < 0\) also \( y _{ 1}  \in D\) und \( h( y _{ 2} ) > 0\) also \( y _{ 2}  \in U \setminus ( D \cup \{ x\}) \). Damit folgt \( x \in \partial D\).

Comments

Danke,

aber eine Frage zur b):
Also wegen der stetigkeit ist lim h(x_n)=h(a) und der grenzwert ist ja größer gleich null aber dann muss h(a) = 0 ja nicht unbedingt sein oder?

Und muss ich am ende irgendwie noch begründen, dass x ∈ ∂D ? Wenn wir gezeigt haben, dass x nicht in D liegt, liegt es dann automatisch auf dem rand?

LG

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Es muss \(h(a) = 0\) gelten, denn würde \(h(a) > 0\) sein, dann würde das ja der Stetigkeit von \(h\) widersprechen, denn \(h(x_n) <0\) für alle \(x_n\). Oder anders gesagt: Der Grenzwert einer Folge deren Folgenglieder alle negativ sind, kann nicht positiv sein.

Zum zweiten Punkt: Ich habe ja genau gezeigt, dass \(x \in \partial D\) gilt, vgl. die Definition des Randes einer Menge (Jede offene Umgebung enthält sowohl einen Punkt in \(D\) als auch einen Punkt in \(\mathbf{R}^n \setminus (D \cup \{x\})\)

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Ohh verstehe

Danke und LG