Aufgabe:
Bei der Entwicklung einer Achterbahn soll ein Teilabschnitt der Schienen durch den Graphen fa(x)=(0.25x2−a)∗e−0.2x im Intervall [-2,30] modelliert werden.
Dabei seien x sowie f_a als Angaben in Metern zu verstehen und a eine reelle Zahl.
a) Begründen Sie , dass die Funktion f_a in Abhängigkeit von a keine, eine oder zwei Nullstellen haben kann und geben Sie den zugehörigen Wert von a an.
b) Beschreiben Sie eine mögliche Schrittfolge, um die Stelle x_m zu ermitteln, an der die Achterbahn ihren größten Anstieg hat.
c) Geben Sie die erste Ableitung f_a' der Funktion f_a an und interpretieren Sie (ohne weitere Berechnung) im Sachzusammenhang die Bedingung
arctan(fa′(xm))≤40°
Problem/Ansatz:
Also bei der a) habe ich jetzt mal f_a(x)=0 gesetzt. Da kommen dann zwei Nullstellen raus, nämlich 4a
Das würde ja bedeuten, dass die Funktion zwei Nullstellen hat oder?
Wie zeige ich, dass die Funktion nur eine oder keine Nullstelle hat?
Wenn ich a=0 wähle, dann bekomme ich ja nur eine Nullstelle, nämlich 0 oder?
b) Was meinen die mit der Schrittfolge? Das ist doch der Wendepunkt
c) die erste Ableitung kann ich bilden.
Aber was ist mit dem Ausdruck arctan?