Begründen Sie, dass f nicht mehr als vier Nullstellen haben kann.

Question

Aufgabe:

a) Wie viele verschiedene Nullstellen kann eine Funktion f vom Grad vier haben? Geben Sie Beispiele an. Begründen Sie, dass f nicht mehr als vier Nullstellen haben kann.

b) Begründen Sie, dass eine Funktion vom Grad drei mindestens eine Nullstelle hat.

Comments

Meine Lösung:

a) 1. Frage: Vier Nullstellen kann höchstens eine Funktion vierten Grades haben.

2. Frage: Beispiele für die jeweiligen Fällen sind:

1.) f(x) = x^4 + 4 (keine Nullstelle)

2.) g(x) = x^4 (eine Nullstelle)

3.) j(x) = (x+1)² × (x+3)²

4.) k(x) = (x+1)² × (x+2) × (x+3)

5.) l(x) = (x+1) × (x+2) × (x+3) × (x+4)

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b) Eine Funktion vom Grad vier ist achsensymmetrisch zur y-Achse, demnach muss es die x-Achse bei ihrem Verlauf schneiden.

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@MontyPython und @abakus stimmt die obige Lösung von mir auch?

Answer 1

Gäbe es 5 Nullstellen, hätte man auch 5 Linearfaktoren. Welche Art von Funktion erhält man, wenn man 5 verschiedene Linearfaktoren multipliziert?

Answer 2

b)

f(x)=ax^3+...

a>0

Für x gegen -∞ geht f(x) ebenfalls gegen -∞.

Für x gegen +∞ geht f(x)  gegen +∞.

Da die Funktion keine Unstetigkeitsstellen hat, muss der Graph die x-Achse mindestens einmal schneiden.

a<0

...

:-)