Zeigen Sie, dass die Folge monoton fallend ist.

Question

Aufgabe:

Sei c₁ = 5 und c_n+1 = sqrt(2_cn-1)   n > 1

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass die Folge monoton fallend ist. Ich hab das so gemacht, ist das legitim?

Induktionsanfang: c₂ = \( \sqrt{9} \) = 3 ≤ 5 ✓

Induktionsschritt:

c_n+1 ≤ c_n

sqrt(2_cn-1) ≤ cn / quadriert

2_cn-1 ≤ c_n² / +1

2_cn ≤ c_n²    -> wahre Aussage für n > 1

Answer 1

Wenn du in der vorletzten Zeile auf beiden Seiten 1 addierst, lautet die entstehende Ungleichung aber

2c_n≤c_n²+1.

Der Königsweg ist hier eigentlich ein anderer:

Stets gilt (c_n-1)²≥0

Jetzt binomische Formel, dann umstellen...

Comments

stimmt das habe ich wohl übersehen, danke!

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Der Königsweg ist hier eigentlich ein anderer.

Ja, nämlich im Induktionsschritt \(c_{n+2}\leq c_{n+1}\) zu zeigen.

Er möchte zeigen, dass \(c_{n+1}\leq c_n\).

Induktionsanfang: \(c_1=5\geq 3=c_2\)

Induktionsvoraussetzung: Es exisitiert ein \(n\in \mathbb{N}\), so dass \(c_{n}\geq c_{n+1}\).

Induktionsschritt: Nun ist zu zeigen, dass \(c_{n+2}\leq c_{n+1}\)

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ich bin jetzt nach Umformung darauf gekommen:

c_n² + 2 ≥ 2_cn ≥ sqrt(2_cn-1)

geht das durch als Beweis, dass es monoton fallend ist?

Ich wäre nämlich von selbst nie auf den "Königsweg" gekommen, deswegen versuch ich es mal auf meine Weise!

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@mathie

Warum zeigst du im Induktionschritt \(c_{n+1}\leq c_n\)?

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bei monoton fallenden Folgen ist doch der vorhergehende Wert, also c_n in meinem Fall, immer größer als der darauf folgende, c_n+1

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Aber du führst doch einen Induktionsbeweis. Da gilt im Induktionsschritt \(n\leadsto n+1\) bzw. \(n+1 \leadsto n+2\). Du kannst das natürlich so machen, wie abakus es sagt, aber nicht, wenn du für den Beweis mit der Induktion ansetzst.