Begründen Sie , dass die Funktion f_a in Abhängigkeit von a keine, eine oder zwei Nullstellen haben kann.

Question

Aufgabe:

Bei der Entwicklung einer Achterbahn soll ein Teilabschnitt der Schienen durch den Graphen $$f_a(x)=(0.25x^2-a)*e^{-0.2x}$$ im Intervall [-2,30] modelliert werden.

Dabei seien x sowie f_a als Angaben in Metern zu verstehen und a eine reelle Zahl.

a) Begründen Sie , dass die Funktion f_a in Abhängigkeit von a keine, eine oder zwei Nullstellen haben kann und geben Sie den zugehörigen Wert von a an.

b) Beschreiben Sie eine mögliche Schrittfolge, um die Stelle x_m zu ermitteln, an der die Achterbahn ihren größten Anstieg hat.

c) Geben Sie die erste Ableitung f_a' der Funktion f_a an und interpretieren Sie (ohne weitere Berechnung) im Sachzusammenhang die Bedingung

$$arctan(f_a'(x_m)) \leq 40°$$

Problem/Ansatz:

Also bei der a) habe ich jetzt mal f_a(x)=0 gesetzt. Da kommen dann zwei Nullstellen raus, nämlich $$\sqrt{4a}$$

Das würde ja bedeuten, dass die Funktion zwei Nullstellen hat oder?

Wie zeige ich, dass die Funktion nur eine oder keine Nullstelle hat?

Wenn ich a=0 wähle, dann bekomme ich ja nur eine Nullstelle, nämlich 0 oder?

b) Was meinen die mit der Schrittfolge? Das ist doch der Wendepunkt

c) die erste Ableitung kann ich bilden.

Aber was ist mit dem Ausdruck arctan?

Answer 1

Also bei der a) habe ich jetzt mal f_a(x)=0 gesetzt. Da kommen dann zwei Nullstellen raus, nämlich $$\sqrt{4a}$$Das würde ja bedeuten, dass die Funktion zwei Nullstellen hat oder?

Erstmal sind die Nullstellen bei

x = ± √(4a)

Warum gibt es jetzt für a < 0 keine, für a = 0 genau eine und für a > 0 genau 2 Nullstellen. Begründe das mal.

Comments

b) Was meinen die mit der Schrittfolge? Das ist doch der Wendepunkt

Wie bestimmt man Wendepunkte

1. Zweite Ableitung gleich Null setzen und nach x in Abhängigkeit von a auflösen.

2. die Existenz eines Wendepunktes kann dann z.B. mit dem VZW-Kriterium geprüft werden. Aber auch über die Vielfachheit der Nullstelle der zweiten Ableitung.

c) die erste Ableitung kann ich bilden.
Aber was ist mit dem Ausdruck arctan?

Für welche Stellen xm ist der Steigungswinkel der Funkton kleiner als 40 Grad.

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In deinem Kommentar zu b) ist dir aber eine grobe Unterlassungssünde unterlaufen.

Hast du echt nicht an Randextrema gedacht?

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Für a <0 gibt es keine Nullstelle da die Wurzel negativ ist

Für a=0 gibt es eine Nullstelle da x1=x2= Wurzel(4)=2

Für a>0 gibt es die beiden von mir berechneten Nullstellen

"Für welche Stellen xm ist der Steigungswinkel der Funkton kleiner als 40 Grad."

Aber wie begründe ich das ohne weitere Rechnung wie finde ich diese x_m heraus?

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Für a=0 gibt es eine Nullstelle da x1=x2= Wurzel(4)=2

4*0 = 0

Wurzel aus 0 ist 0.

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Danke ggT..da ist mir ein böser Fehler unterlaufen

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Aber wie begründe ich das ohne weitere Rechnung wie finde ich diese x_m heraus?

Du sollst dieses xm nicht herausfinden. Du sollst nur die Gleichung interpretieren, also deuten was sie besagt.

Die Steigung und der Steigungswinkel hängen wie folgt zusammen

tan(α) = m

α = arctan(m)

Das darf man gerne wissen und sollte es sich auch schnell an einem Steigungsdreieck herleiten können.