Messbarkeit von Zufallsvariablen

Question

Aufgabe:

$$\text{Seien }(\Omega,\mathcal{A})\ \text{ein Messraum und A und B Zufallsvariablen.}\\\text{Beweise, dass die Abbildungen Y=sign(A) und Y=min(A,B) ebenfalls Zufallsvariablen sind}\\ \text{Hinweis: }\ Y^{-1}((-\infty,a])\in\ \mathcal{A} \text{ für alle a } \in \mathbb{R}$$

Answer 1

Um zu zeigen, dass \( f\colon \Omega \to \mathbf{R}\) messbar ist, musst du zeigen, dass für jede Borelmenge \( A\subset \mathbf{R}\) gilt, dass
\( f^{-1} ( A) \subset \Omega \) messbar ist. Nun werden ja die Borelmengen von den Intervallen \( ( -\infty , a] \) für \( a \in \mathbf{R}\) erzeugt, also genügt es,
obiges für diese Mengen zu zeigen. Bemerke, dass die Komposition von messbaren Funktionen wiederrum messbar ist.

1. Wir wollen zeigen, dass \(\text{sign}\colon \mathbf{R}\to \mathbf{R}\) messbar ist. Es gilt
\(\begin{aligned} \text{sign}^{-1}( ( -\infty, a ] ) = \begin{cases}   \varnothing , & a < -1   \\   ( -\infty , 0) , &-1\leqslant a<0   \\   ( -\infty , 0] , &0\leqslant a<1   \\   \mathbf{R}, &a\geqslant 1 \end{cases} .\end{aligned}\)
Da alles Borel-messbare Mengen sind, ist also \( \text{sign}\) messbar.

2. Wir wollen zeigen, dass \(f = \min_{ } ( A, B)  \) messbar ist.
Es gilt
\(\begin{aligned}   f^{-1} ( ( -\infty , a] ) = A^{-1} (  ( -\infty, a ] ) \cup B^{-1} (  ( -\infty , a] ) .\end{aligned}\)