Berechnen Sie die Folgenden Summen in Abhängigkeit von n

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Folgenden Summen in Abhängigkeit von n

i) $$\sum_{k=0}^n 2^{k+1}$$

ii) $$\sum_{k=0}^n (2^{k+1}-2^k)(2^{k+1}+2^k)$$

Problem/Ansatz:

Bei der i) habe ich es mit der geometrischen Summenformel versucht bin aber gescheitert

Answer 1

Hallo,

klammere bei i) eine 2 aus.

i) $$\sum_{k=0}^n 2^{k+1}=2\cdot\sum_{k=0}^n 2^{k}$$

Bei ii) kannst du zweimal 2^k ausklammern.

ii) $$\sum_{k=0}^n (2^{k+1}-2^k)(2^{k+1}+2^k)  \\=\sum_{k=0}^n 2^k\cdot (2^{1}-2^0)(2^1+2^0)\cdot2^k\\=\sum_{k=0}^n 2^{2k}\cdot1\cdot3\\=3\cdot\sum_{k=0}^n 4^{k} $$

Nun kannst du die Formel anwenden.

$$\sum \limits_{k=0}^{n} a^{k}=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1} $$

Comments

Berechnen Sie die Folgenden Summen

Was verstehst du darunter, wenn Summen berechnet werden sollen?

Du hättest die Summen nur vereinfacht, oder nicht?

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Hallo,

meiner Meinung nach bedeutet das, einen Term in Abhängigkeit von n zu finden, mit dem die Summe direkt ausgerechnet werden kann.

Die Fragestellerin sucht doch einen Weg, die Summenformel anzuwenden.

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Ok. Wichtig nur für die Fragestellerin, dass die Anwendung der Summenformel mit zur Aufgabe gehört.

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Unsere Lösungen stimmen ja überein, nur dass ich noch die Zwischenschritte der Rechnung notiert habe.

Answer 2

∑ (k = 0 bis n) (2^(k + 1)) = 2^(n + 2) - 2

2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^(n + 1)

Bilde jetzt mal die Teilsummen aus den ersten n + 1 Summanden

Comments

∑ (k = 0 bis n) ((2^(k + 1) - 2^k)·(2^(k + 1) + 2^k))

= ∑ (k = 0 bis n) (3·2^(2·k))

= 4^(n + 1) - 1