Aufgabe:
Sei R ein Ring und M ein R-Modul, N ⊆ M ein Untermodul. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Ist M endlich erzeugt, so ist M/N endlich erzeugt.(b) Ist M frei, so ist M/N frei.
Problem/Ansatz:
Ich denke, dass es bei dieser Aufgabe daraus hinausläuft eine R-Lineare Abb. vom M--> M/N zu konstruieren und so die Eigenschaften zu zeigen. Wäre super wenn mir jemand helfen könnte wie man diese konstruiert oder ob es irgendwie anders geht
(a) ist wahr. Nimm ein endliches Erzeugendensystem \(\{m_1,\cdots,m_n\}\)
von \(M\). Überlege dir, dass dann \(\{m_1+N,\cdots, m_n+N\}\) ein
Erzeugemdemsystem von \(M/N\) ist.
(b) ist falsch. Finde ein Gegenbeispiel z.B. mit \(R=M=\mathbb{Z}\).
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