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10 Der Punkt \( P(3|1| 1) \) liegt auf der Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \).
a) Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P von der Ebene E: \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \).
b) Es gibt einen weiteren Punkt auf der Geraden g, der von E den Abstand d hät. Berechnen Sie seine Koordinaten.
\( P^{\prime}(-87|31| 31) \)

Kann mit jemand bei der Aufgabe B helfen? Ich komm nicht weiter

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3 Antworten

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Hallo

du hast doch schon die richtige Zeichnung, S+PS=P'

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Das hat die Lehrerin gemacht ich weiß nicht wie ich die Zahlen und welche Zahlen ich da bringen soll

Hallo

du schneidest die Gerade mit der Ebene und hast dann S, weiter wie beschrieben. Oder du schneidest die  parallele Ebene im Abstand d aus a mit der Geraden

lul

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn wir die Koordinaten der Geraden$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\4\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6-3r\\4+r\\4+r\end{pmatrix}$$in die Ebenengleichung$$E\colon2x_1+10x_2+11x_3=252$$einsetzen, erhalten wir den Punkt \(S\), wo die Gerade die Ebene trifft:$$\small252=2(-6-3r)+10(4+r)+11(4+r)=15r+72\implies 15r=180\implies r=12$$Dieses \(r\) in \(g\) eingesetzt liefert uns:\(\quad \pink{S(-42|16|16)}\)

Der gesuchte Abstand \(d\) ist die Projektion des Vektors \(\overrightarrow{PS}=\vec s-\vec p=(-45;15;15)^T\) auf den Normenvektor \(\vec n=(2;10;11)^T\) der Ebene:$$d=\left|\frac{\overrightarrow{PS}\cdot\vec n}{\vec n}\right|=\left|\frac{-45\cdot2+15*10+15*11}{\sqrt{2^2+10^2+11^2}}\right|=\left|\frac{225}{15}\right|\pink{=15}$$

Der zweite Punkt \(P'\) mit demselben Abstand zur Ebene ist:$$\vec p'=\vec p+2\cdot\overrightarrow{PS}=\vec p+2(\vec s-\vec p)=2\vec s-\vec p=\begin{pmatrix}-84\\32\\32\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-87\\31\\31\end{pmatrix}$$Daher ist \(\pink{P'(-87|31|31)}\).

Avatar von 152 k 🚀

Bei der Berechnung des Abstandes ist ein \(\vec n\) im Nenner zuviel. Der Abstand beträgt 15.

Vielen Dank für den Hinweis. Ich hab's korrigiert ;)

Dankeee Ihnen

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Man kann diese Aufgabe sehr fix mit der Abstandsformel für parallele Ebenen lösen:

Wenn \(n\) der Normalenvektor ist, \(E_1:\: n\cdot x = d_1\) und \(E_2:\: n\cdot x = d_2\), dann gilt für den Abstand \(d(E_1,E_2)\) der beiden Ebenen: $$d(E_1,E_2) = \frac{|d_1 - d_2|}{|n|}$$

In deiner Aufgabe haben wir:

$$n=(2,10,11)^T\Rightarrow |n| = 15 \text{ und } E:\: n\cdot x = 252$$

\(P(3,1,1)\) liegt in der Ebene \(n\cdot x = d\) mit $$d= (2,10,11)^T\cdot (3,1,1)^T = 27 \Rightarrow \boxed{d(P,E) = \frac{252-27}{15}=15}$$

Für die Punkte \(x(r)\) der Geraden \(g\) gilt

$$n\cdot x(r) = (2,10,11)^T\cdot ((-6,4,4)^T+r(-3,1,1)^T) = 72+15r $$

Damit hat der Punkt \(x(r)\) den folgenden Abstand von E:

$$d(x(r),E) = \frac{|72+15r-252|}{15}\stackrel{!}{=}15 = d(P,E)$$

Du löst die Gleichung

$$|15r-180| = 252\Rightarrow r=-3,\: r= 27$$

Einsetzen in die Geradengleichung gibt den Punkt P und den gesuchten Punkt \(\boxed{P'(-87,31,31)}\).

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