Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P von der Ebene E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 .

Question

Text erkannt:

10 Der Punkt \( P(3|1| 1) \) liegt auf der Geraden \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \).
a) Bestimmen Sie den Abstand d des Punktes P von der Ebene E: \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \).
b) Es gibt einen weiteren Punkt auf der Geraden g, der von E den Abstand d hät. Berechnen Sie seine Koordinaten.
\( P^{\prime}(-87|31| 31) \)

Kann mit jemand bei der Aufgabe B helfen? Ich komm nicht weiter

Comments

vgl:

https://www.studysmarter.de/schule/mathe/geometrie/abstand-punkt-ebene/

Answer 1

Hallo

du hast doch schon die richtige Zeichnung, S+PS=P'

Gruß lul

Comments

Das hat die Lehrerin gemacht ich weiß nicht wie ich die Zahlen und welche Zahlen ich da bringen soll

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Hallo

du schneidest die Gerade mit der Ebene und hast dann S, weiter wie beschrieben. Oder du schneidest die  parallele Ebene im Abstand d aus a mit der Geraden

lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn wir die Koordinaten der Geraden$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\4\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6-3r\\4+r\\4+r\end{pmatrix}$$in die Ebenengleichung$$E\colon2x_1+10x_2+11x_3=252$$einsetzen, erhalten wir den Punkt \(S\), wo die Gerade die Ebene trifft:$$\small252=2(-6-3r)+10(4+r)+11(4+r)=15r+72\implies 15r=180\implies r=12$$Dieses \(r\) in \(g\) eingesetzt liefert uns:\(\quad \pink{S(-42|16|16)}\)

Der gesuchte Abstand \(d\) ist die Projektion des Vektors \(\overrightarrow{PS}=\vec s-\vec p=(-45;15;15)^T\) auf den Normenvektor \(\vec n=(2;10;11)^T\) der Ebene:$$d=\left|\frac{\overrightarrow{PS}\cdot\vec n}{\vec n}\right|=\left|\frac{-45\cdot2+15*10+15*11}{\sqrt{2^2+10^2+11^2}}\right|=\left|\frac{225}{15}\right|\pink{=15}$$

Der zweite Punkt \(P'\) mit demselben Abstand zur Ebene ist:$$\vec p'=\vec p+2\cdot\overrightarrow{PS}=\vec p+2(\vec s-\vec p)=2\vec s-\vec p=\begin{pmatrix}-84\\32\\32\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-87\\31\\31\end{pmatrix}$$Daher ist \(\pink{P'(-87|31|31)}\).

Comments

Bei der Berechnung des Abstandes ist ein \(\vec n\) im Nenner zuviel. Der Abstand beträgt 15.

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Vielen Dank für den Hinweis. Ich hab's korrigiert ;)

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Dankeee Ihnen

Answer 3

Man kann diese Aufgabe sehr fix mit der Abstandsformel für parallele Ebenen lösen:

Wenn \(n\) der Normalenvektor ist, \(E_1:\: n\cdot x = d_1\) und \(E_2:\: n\cdot x = d_2\), dann gilt für den Abstand \(d(E_1,E_2)\) der beiden Ebenen: $$d(E_1,E_2) = \frac{|d_1 - d_2|}{|n|}$$

In deiner Aufgabe haben wir:

$$n=(2,10,11)^T\Rightarrow |n| = 15 \text{ und } E:\: n\cdot x = 252$$

\(P(3,1,1)\) liegt in der Ebene \(n\cdot x = d\) mit $$d= (2,10,11)^T\cdot (3,1,1)^T = 27 \Rightarrow \boxed{d(P,E) = \frac{252-27}{15}=15}$$

Für die Punkte \(x(r)\) der Geraden \(g\) gilt

$$n\cdot x(r) = (2,10,11)^T\cdot ((-6,4,4)^T+r(-3,1,1)^T) = 72+15r $$

Damit hat der Punkt \(x(r)\) den folgenden Abstand von E:

$$d(x(r),E) = \frac{|72+15r-252|}{15}\stackrel{!}{=}15 = d(P,E)$$

Du löst die Gleichung

$$|15r-180| = 252\Rightarrow r=-3,\: r= 27$$

Einsetzen in die Geradengleichung gibt den Punkt P und den gesuchten Punkt \(\boxed{P'(-87,31,31)}\).