Bestimme den Grenzwert durch Multiplikation mit der Wurzel

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert

$$a_n= \sqrt{n^2+n}-n$$

Problem/Ansatz:

Ich würde das zuerst mit

$$\frac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n}$$ multiplizieren. Aber dann weiß ich nicht weiter

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee ist goldrichtig. Jetzt musst du es nur noch machen:$$a_n=(\sqrt{n^2+n}-n)=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)\pink{(\sqrt{n^2+n}+n)}}{\pink{(\sqrt{n^2+n}+n)}}=\frac{(\sqrt{n^2+n})^2-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{\pink{\frac1n}\cdot n}{\pink{\frac1n}\cdot\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac12$$

Comments

Der Trick mit der Multiplikation von 1/n hat mir gefehlt.

Vielen lieben Dank