Wahrscheinlichkeit und Schätzungen für den Gewinn bei einem Münzwurfspiel: Analyse und Berechnungen

Question

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiter weiß.

Ein Freund fordert sie auf, mit einer Münze zu spielen, die er zufällig in der Tasche hat. Er wettet auf Kopf, Sie auf Zahl. Falls Zahl kommt, erhalten Sie 2€, anderenfalls verlieren Sie 1€. Nach 100 Würfen haben Sie nur 5€ gewonnen und den Verdacht, dass die Münze manipuliert ist. Bevor Sie Ihren Freund zur Rede stellen, wollen Sie sich Ihrer Sache sicher sein.

(a) Definieren Sie den Ergebnisraum bei 100 Würfen, die zugehörige diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion und eine Zufallsvariable, die den Gewinn des Spiels in Euro angibt. Geben Sie außerdem formale Definitionen für die Ereignisse „Sie gewinnen genau 5€“ und „Sie gewinnen höchstens 5€“. Falls Sie im folgenden zusätzliche Zufallsvariablen verwenden,
geben Sie auch für diese eine formale Definition.
(b) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit 5€ oder weniger zu gewinnen mit der Tschebyscheff-Ungleichung ab.
(c) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit 5 € oder weniger zu gewinnen mit der Chernoff-Schranke ab.
(d) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit 5€ oder weniger zu gewinnen mit der Hoeffding-Ungleichung ab.
(e) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie bei 100 Würfen genau 5€ gewinnen, und
die Wahrscheinlichkeit, dass Sie 5€ oder weniger gewinnen.

Für den Aufgabenteil a) habe ich folgendes:

Der Ergebnisraum bei 100 Würfen ist Ω={0,1}¹⁰⁰, wobei 0 für Kopf und 1 für Zahl steht.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Binomialverteilung P(X=k)=\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) ∙p^k ∙(1-p)^(n-k) 
Hier ist n die Anzahl der Münzwürfe (in unserem Fall 100), k ist die Anzahl der Erfolge (gewonnene Euro), und p ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (in unserem Fall 0.5).
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet also
P(X=k)= \( \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix}\) · 0.5^k∙(1-0.5)^(100-k)
Eine Zufallsvariable die den Gewinn des Spiels in Euro angibt, können wir wie folgt definieren:
X=2∙Anzahl Zahl-Anzahl Kopf
Die formale Definition für das Ereignis „Sie gewinnen genau 5€“ ist P(X=5) und für das Ereignis „Sie gewinnen höchstens 5€“ P(X<=5).

Bei den restlichen Teilaufgaben weiß ich allerdings nicht weiter

Answer 1

die zugehörige diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion ist eine Abbildung von der Ergebnismenge in das Intervall \([0,1]\).

P(X=k)=\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\) ∙p^k ∙(1-p)^(n-k)

Was ist X?

k ist die Anzahl der Erfolge (gewonnene Euro)

Wenn ich also z.B. nur 10 mal werfe und das Ergebnis (0,1,0,0,1,0,0,0,1,0) erziele, dann habe ich 6€ gewonnen und 7€ verloren. Ist k jetzt 3 oder 6 oder -1?

X=2∙Anzahl Zahl-Anzahl Kopf

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung vom Ergebnisraum in die reellen Zahlen. Da in der Aufgabenstellung offenbar viel Wert auf formale Definitionen gelegt wird, ist mir das nicht formal genug.

Tipp. In dem Beispiel \(\omega = (0,1,0,0,1,0,0,0,1,0)\) wird \(\sum_{i=1}^{10}\omega_i = 3\) mal Zahl geworfen. Wie kann man aus der \(3\) und der \(10\) den Gewinn von -1 berechnen?

das Ereignis „Sie gewinnen genau 5€“ ist P(X=5)

Nein.

\(P(X=5)\) ist eine Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis. Das Ereignis ist \(X^{-1}(\{5\})\) oder von mir aus auch \(X=5\) (falls ihr schon besprochen habt, wie solche Ausdrücke zu verstehen sind).