Zeigen Sie, dass \operatorname{EW}(A)=\operatorname{EW}(A^{\top}) .

Question

1. Sei \( A \in \mathbb{R}^{n, n} \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{EW}(A)=\operatorname{EW}\left(A^{\top}\right) \). Geben Sie zusätzlich ein Beispiel an, wo der Eigenraum von \( A \) zu einem Eigenwert \( \lambda \) nicht mit dem Eigenraum von \( A^{\top} \) zum Eigenwert \( \lambda \) übereinstimmt (dh. finden Sie eine Matrix \( A \) mit passenden Eigenwert \( \lambda \) so, dass \( E_{A, \lambda} \neq E_{A^{\top}, \lambda} \) ).

2. Sei \( U \in \mathbb{R}^{n, n} \) eine orthogonale Matrix. Aus Team-Aufgabe 9 Aufgabe 2.1 wissen wir bereits, dass \( \forall \lambda \in \mathrm{EW}(U): \lambda \neq 0 \) gilt. Zeigen Sie, dass \( \lambda \in \mathrm{EW}(U) \Rightarrow \frac{1}{\lambda} \in \mathrm{EW}(U) \) gilt.

Comments

2. Sei \(\lambda\) ein EW von \(U\) und \(v\) ein zugehöriger EV. Dann gilt
\(Uv=\lambda v\iff\underbrace{U^\top U}_{=I}v=\lambda U^\top v\iff U^\top v=\frac1\lambda v\).
Es ist also \(\frac1\lambda\) ein EW von \(U^\top\) und damit nach (1) auch von \(U\).

Answer 1

Zu 1.: \(\lambda \in EW(A)\iff \det(\lambda E_n - A)=0\)

Es ist

\(\det(\lambda E_n-A^T)=\det(\lambda E_n^T-A^T)=\det((\lambda E_n-A)^T)=\det(\lambda E_n-A)\), also

\(\det(\lambda E_n-A^T)=\det(\lambda E_n-A)=0\iff \lambda \in EW(A^T)\).