Masseschwerpunkt eines Drahtes

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}{[-\cos (x)+5 x]_{0}^{\frac{3}{4} \pi}} \\ \left(-\cos \left(\frac{3}{4} \pi\right)+5 \cdot \frac{3}{4} \pi\right)+\underbrace{\cos (0)}_{1} \\ f(x)=\sin (x)+5 \cdot x \\ F(x)=\sin (x)-x \cdot(\cos (x)-5) \\ {\left[\sin (x)-x \cdot(\cos (x)-5]_{0}^{\frac{3}{4} \pi}\right.} \\ {\left[\sin \left(\frac{3}{4} \pi\right)-\frac{3}{4} \pi \cdot\left(\cos \left(\frac{3}{4} \pi\right)-5\right)-\sin (0)-5\right.} \\ \frac{\sin \left(\frac{3}{4} \pi\right)-\frac{3}{4} \pi \cdot\left(\cos \left(\frac{3}{4 \pi}\right)-5-\sin (0)-5\right.}{\left.-\frac{3}{4} \pi\right)+1}\end{array} \)

Was ist daran falsch und wie wird die Aufgabe richtig gelöst?

Answer 1

Aloha :)

Die Dichte des Drahtes ist:$$\delta(x)=5+\sin x\quad;\quad 0\le x\le\frac{3\pi}{4}$$

Daraus bestimmen wir seine Masse:$$\small m=\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}}\delta(x)\,dx=\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}}(5+\sin x)\,dx=\left[5x-\cos x\right]_0^{\frac{3\pi}{4}}=\left(\frac{15\pi}{4}+\frac{1}{\sqrt2}\right)+1\approx13,4881$$

Mit Hilfe der Masse können wir den Schwerpunkt berechnen:$$x_s=\frac{1}{m}\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}}x\delta(x)\,dx=\frac{1}{m}\int\limits_0^{\frac{3\pi}{4}}\left(5x+x\sin x\right)dx=\frac1m\left[\frac{5x^2}{2}+\sin x-x\cos x\right]_0^{\frac{3\pi}{4}}$$Alles einsetzen und ausrechnen ergbit:\(\quad \pink{x_s\approx1,2049}\)

Comments

Super erklärt, vielen vielen Dank für deine ständige Hilfe!

---

Ich hab's versucht aber leider was falsches raus :(( Wie wäre der Masseschwerpunkt hiervon?

Text erkannt:

Ein Draht mit Dichte \( \delta(x)=2+\sin (x) \) (Masse pro Längeneinheit) liegt auf der x-Achse zwischen \( x=0 \) und \( x=3 \pi / 4 \). Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt \( x_{s} \) des Drahtes. (Achtung: Massenschwerpunkt, nicht nur die Massel)

---

Dazu musst du doch eigentlich nur die \(5\) aus meiner Rechnung durch eine \(2\) ersetzen...

---

Ich hatte vergessen meinen Taschenrechner umzustellen :((