Untervektorraum f(-x) und -f(-x)

Question

Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) heißt gerade (bzw. ungerade), falls \( f(x)=f(-x \) ) für alle \( x \in \mathbb{R} \) (bzw. \( f(x)=-f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) ). Die Menge der geraden (bzw. ungeraden) Funktionen werde mit \( G \) (bzw. \( U) \) bezeichnet. Zeigen Sie:

(a) \( G \) und \( U \) sind Untervektorräume des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( M(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).
(b) Der von \( U \cup G \) aufgespannte Unterraum von \( M(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) ist \( M(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \).
(c) Es gilt \( U \cap G=\{0\} \)
Außerdem gilt \( f(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))+\frac{1}{2}(f(x)-f(-x)) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).

Kann wer die Aufgaben erklären und lösen? Verstehe denn Sinn hinter f(-x) und -f(-x) nicht.

Answer 1

zu  "Verstehe denn Sinn hinter f(-x) und -f(-x) nicht."

Bedenke: x und -x liegen auf der x-Achse punktsymmetrisch zu 0.

Wenn also f(x)=f(-x) gilt, dann bedeutet das doch: Bei x und bei -x

ist der gleiche Funktionswert, also der Graph achsensymmetrisch

zur y-Achse.

Entsprechend punktsymmetrisch zu (0;0) bei f(-x) = -f(x) oder

eben f(x) = -f(-x).

a)  Prüfe dir bekannte Unterraumkriterien. Eine Eigenschaft muss wohl sein:

f∈G und h∈G ==>   f+h ∈G. Das beweist du z.B. so:

Seien f∈G und h∈G. Dann gilt für alle \( x \in \mathbb{R} \)

f(x) = f(-x) und h(x) = h ( -x). Also auch

(f+g)(x) wegen Def. von + für Abb'en

= f(x)+g(x)   dann nach Vor

= f(-x)+g(-x) wegen Def. von + für Abb'en

= (f+g)(-x)   Also f+h ∈G.   etc.

zu b) siehe   https://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen#Zerlegung

Answer 2

Tipp:

Ist \(f:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), so ist

\(x\mapsto f(x)+f(-x) \in G\) und \(x\mapsto f(x)-f(-x) \in U\).