Hauptachstransformation x^2 + 4y^2 + 2pxy = 16 Kurve und Winkel

Question

Wir betrachten die Gleichung x² + 4y² + 2pxy = 16 für einen reellen Parameter p.
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von p, welche Kurve als Lösungsmenge herauskommt, um welchen Winkel das Koordinatensystem in Hauptachsenlage gegenüber dem x-y-Koordinatensystem gedreht ist und machen sie für qualitativ unterschiedliche Fälle jeweils eine Skizze!

Mein Ansatz:

x² + 2pxy + 4y² -16 = 0  

A= \( \begin{pmatrix} 1 & p \\ p & 4 \end{pmatrix} \)

(1-λ)(4-λ)-p² = λ² -5λ+4-p²

Eigenwerte:

λ_1,2= 1/2*( 5± \( \sqrt{4p^2+9} \)  )

Eigenvektoren:
v_1,2= ( (3± \( \sqrt{4p^2+9} \) /2p , 1)

Die Drehmatrix ist dann

S= \( \begin{pmatrix} v1 & p \\ p & v2 \end{pmatrix} \)

Weiter komme ich nicht  

Answer 1

Hallo,

Eigenvektoren:v_1,2= ( (3± \( \sqrt{4p^2+9} \) /2p , 1)

das ist nicht ganz richtig. Besser$$v_{1,2} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2p} \left(-3 \pm \sqrt{4p^2+9}\right)\\ 1\end{pmatrix}$$

Die Drehmatrix kannst Du aus der Richtung einer der Eigenvektoren (grün im Bild unten) bestimmen. Es gilt$$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} \\ D = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} $$

https://www.desmos.com/calculator/wmdlki2yvv

Den Punkt für \(p\) kann man mit der Maus horizontal verschieben.

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von p, welche Kurve als Lösungsmenge herauskommt, ...

Berechne die Determinante von \(A\). Ist \(\det(A) \gt 0\) so ist es eine Ellipse, ist \(\det(A) \lt 0\) eine Hyperbel. Mit \(\det(A)=0\) bleibt nur ein paar paralleler Geraden übrig.

Gruß Werner

Comments

det(A) > 0 wenn p < ±2
det(A) < 0 wenn p > ±2
det(A) = 0 wenn p = ±2

Ich verstehe noch nicht ganz wie ich aus den Eigenvektoren die Drehmatrix bestimme

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Ich verstehe noch nicht ganz wie ich aus den Eigenvektoren die Drehmatrix bestimme

Ein Vektor hat eine Richtung (z,B. gegenüber der X-Achse). Oben im Bild habe ich Dir die beiden EIgenvektoren eingezeichnet. Der Winkel den ein Eigenvektor gegenüber der Horizontalen einnimmt und ist auch der Winkel der Ellipse (bzw. Hyperbel) gegenüber der Horizontalen.

Rechnerisch ist$$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{2p}{-3 \pm \sqrt{4p^2+9}}$$Ich habe Dir den Winkel oben in der Antwort hinzugefügt.

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Dankeschön (: