Bestimmen das gesuchte Taylorpolynom T_5(x) von f:

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das Taylorpolynom\(T_5(x)\) zu \(f(x)=e^x⋅\cos(x)⋅\sin(x^2)\) vom Grad 5 im Entwicklungspunkt \(x_0=0\).
Zu diesem Zweck könnten Sie \(f\) fünfmal ableiten und die bekannte
Formel T_5(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{5}{\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n} \)  verwenden.  

Geben Sie zunächst die Taylorpolynome bis zum Grad 5 der beteiligten Funktionen an, also das, was oben vor den Pünktchen steht:

e-Funktion: e^x ≈ ______

Kosinus: cos(x) ≈ ______

Sinus: sin(x^2) ≈ ______

Bestimmen Sie nun wie angegeben das gesuchte Taylorpolynom T5(x) von f:

f ≈ T_5(x) =______

Berechnen Sie mit Hilfe der eben berechneten Potenzreihe den Grenzwert

limx→0 \( \frac{f(x)}{x^2} \) =_______

Problem/Ansatz:

e-Funktion: ≈ 1+x+ \( \frac{x^2}{2} \) + \( \frac{x^3}{6} \) + \( \frac{x^4}{24} \) + \( \frac{x^5}{150} \)

Kosinus: ≈ 1- \( \frac{x^2}{2} \) + \( \frac{x^4}{24} \)

Sinus: ≈ x^2 - \( \frac{x^6}{6} \) + x^(10)/120

f ≈ T_5(x) = 0 

limx→0 \( \frac{f(x)}{x^2} \) = 1

Answer 1

Zunächst einmal gilt:$$e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120} \\ \sin(x^2)\approx x^2-\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{120} \\ \cos(x)\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}$$ Dann betrachtest du das Produkt:$$\left( 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}\right) \left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}\right)\left(x^2-\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{120}\right)\\$$ Und erzeugst nach und nach die Terme: die Konstanten, \(x\)-Terme, \(x^2\)-Terme, usw.

Durch dieses Produkt können keine konstanten Terme erzeugt werden, auch keine \(x\)-Terme. Du kannst einen \(x^2\)-Term erzeugen, indem du in der ersten Klammer und der zweiten Klammer jeweils die Einsen nimmst und im letzten \(x^2\), also \(1\cdot 1\cdot x^2\); dann gehst du zu den \(x^3\)-Termen, hier hat man \(x\cdot 1\cdot x^2=x^3\).

Jetzt zu den \(x^4\)-Termen: Hier können keine erzeugt werden.

Zu den \(x^5\)-Termen: \(x\cdot \frac{-x^2}{2}\cdot x^2\) und \(\frac{x^3}{6}\cdot 1\cdot x^2\). In Summe \(-\frac{1}{3}x^5\)

Du erhältst also \(T_f^5(x,0)=x^2+x^3-\frac{1}{3}x^5\) (grün)

Comments

Danke für die Hilfe konnte es dadurch lösen

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jetzt zu den \(x^4\)-Termen: Hier können keine erzeugt werden.

es sind schon welche dort, aber ihre Summe ist \(=0\)$$1 \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right) \cdot x^2 +\left(\frac{x^2}{2}\right)\cdot 1 \cdot x^2 = 0$$

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Danke, Werner! Du hast recht, die Formulierung sorgt für Verwirrung.