Berechne E(-3 + X + Y2)+Var(6+X)

Question

Aufgabe:

Sei X Binomialverteilt mit X~Bin(100,0.8). Eine weitere Zufallsvariable Y ist gegeben mit folgenden Wahrscheinlichkeiten P(Y=0)=0.6, P(Y=-3)=0.1, P(Y=3)=0.3

Berechne E(-3 + X + Y²)+Var(6+X).

Problem/Ansatz:

Ich habe mal E(X)=80 weil E(X~Bin)=n*p,
Var(X)=16 weil Var(X~Bin)=n*p*(1-p).
E(Y²)=(0)²*0.6+(-3)²*0.1+(3)²*0.3=3.6

Wegen der Linearität E(-3+X+Y²)=-3+E(X)+E(Y²)=80.6 und Var(6+X)=16
E(-3 + X + Y2)+Var(6+X)=96.6.

Das Ergebnis stimmt aber nicht. Was ist mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Erwartungswert und Varianz der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) sind klar:$$\left<X\right>=n\cdot p=80\quad;\quad\operatorname{Var}(X)=n\cdot p\cdot(1-p)=16$$

Wenn man eine Konstante zu \(X\) addiert, ändert sich die Varianz nicht, weil bei der Konstanten ja nix variiert, d.h.$$\operatorname{Var}(6+X)=\operatorname{Var}(X)=16$$

Für die Zufallsvariable \(Y\) finden wir:$$\left<Y^2\right>=0^2\cdot0,6+(-3)^2\cdot0,1+3^2\cdot0,3=9\cdot0,4=3,6$$

Damit haben wir nun:$$\left<-3+X+Y^2\right>+\operatorname{Var}(6+X)=-3+80+3,6+16=96,6$$

Du siehst, ich habe dasselbe raus wie du... Du hast keinen Fehler drin.

Comments

Okay, danke! Dann muss das ein Fehler im Skript sein. :)