Wir betrachten die Folge \( \left\{G_{k}\right\}_{k \geq 0} \) der Fibonacci-Zahlen, bei der jede Zahl das arithmetische Mittel der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Genauer: Mit \( G_{0}=0 \) und \( G_{1}=1 \) ist
\( G_{k+2}=\frac{1}{2}\left(G_{k+1}+G_{k}\right), \quad k \geq 0 . \)
1. Finden Sie \( A \in \mathbb{C}^{2,2} \), sodass \( u_{k+1}=A u_{k} \) für \( u_{k}:=\left(G_{k+1}, G_{k}\right)^{T} \) und \( k \geq 0 \) gilt.
2. Bestimmen Sie die Eigenwerte von \( A \) und bringen Sie \( A \) in Diagonalform \( X^{-1} A X=D \).
3. Zeigen Sie, dass \( A^{n}=X D^{n} X^{-1} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt, und bestimmen Sie den Grenzwert \( A_{\infty}:= \) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} A^{n} \).
4. Zeigen Sie, dass \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} G_{k}=\frac{2}{3} \).
