Ist die Funktion f -> f^2 differenzierbar?

Question

Text erkannt:

Es sei \( X=\left(C^{0}([0,1]),\|\cdot\|_{\infty}\right) \).
Untersuche (unter Verwendung der Definition aus c)) die Funktion \( \Phi: X \rightarrow X, f \mapsto f \cdot f \) (d.h. \( \Phi(f)(x)=(f(x))^{2} \) für \( \left.f \in X, x \in[0,1]\right) \) auf Differenzierbarkeit.

Die „Definition aus c)“ ist dabei:

Es seien X, Y normierte Räume, D ⊂ X offen, f : D → Y eine Funktion und x0 ∈ D. Dann heißt f differenzierbar in x0, wenn eine stetige lineare Abbildung Df(x0): X → Y , ein r > 0 und eine Funktion g: B_r(0) → Y existieren, die

f(x0 + h) = f(x0) + (Df(x0))(h) + g(h) für alle h ∈ Br(0) und

  \( \frac{g(h)}{||h||} \)  →0 (in Y) für h→0 (in X) erfüllen. (||h||) ist die jeweilige Norm für den Raum X.

Hab hier keinen wirklichen Ansatz.

Answer 1

Naja, wir überprüfen halt die Differenzierbarkeitsdefinition für eine Funktion \(f \in C^0[0,1]\) mit "Zuwachs" \(h\in C^0[0,1]\):

$$\Phi(f+h)(x)=(f(x)+h(x))^2=f(x)^2+2f(x)h(x)+h(x)^2$$

Durch Vergleich mit der Definition der Ableitung erkennen wir:

$$[D\Phi(f)h](x)=2f(x)h(x)$$

Der "Rest" \(g(h)=h^2\) erfüllt natürlich:

$$\frac{\|g(h)\|}{\|h\|} \leq \frac{\|h\|^2}{\|h\|} \to 0$$