Sind die Ebenen E1 und E2 parallel zueinander? Geben sie gegebenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden an.

Question

Aufgabe:

Sind die Ebenen E1 und E2 parallel zueinander? Geben sie gegebenfalls eine Gleichung der Schnittgeraden an.

E1: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0 \end{pmatrix} \) + r · \( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \) + s · \( \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \)

E2: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\4\\1 \end{pmatrix} \) + r · \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) + s · \( \begin{pmatrix} 2\\8\\3 \end{pmatrix} \)

Answer 1

n1 = [1, 3, 1] ⨯ [0, 2, 1] = [1, -1, 2]

n2 = [1, 1, 0] ⨯ [2, 8, 3] = [3, -3, 6]

Die Normalenvektoren sind vielfache voneinander, daher sind die Ebenen parallel oder identisch.

Wir wandeln E1 noch in Koordinatenform um

E1: x - y + 2·z = -1

und setzen hier den Stützvektor von E2 ein

1 - 4 + 2·1 = -1 → wahr, daher sind die Ebenen identisch.

Comments

und wie finde ich die schnittgerade heraus?

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und wie finde ich die schnittgerade heraus?

Du hast nicht nur eine Schnittgerade, sondern eine Schnittebene!

Jede Gerade die in E1 und E2 liegt, wäre unter anderem eine Schnittgerade. Da solltest du ohne nachzudenken 8 Stück angeben können.

Wenn du zwei identische Ebenen hast, gibt es also nicht "die Schnittgerade" und dann gibt man auch keine Schnittgerade an.