Aufgabe:
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Eine Funktion \( u \in C^{3}\left([0,1]^{2}\right. \) ) verschwinde in einer Umgebung von \( \partial[0,1]^{2} \) (es gebe also ein \( \varepsilon>0 \) mit \( u(x, y)=0 \) für alle \( (x, y) \in[0,1]^{2} \) mit \( \left.\min \{x, 1-x, y, 1-y\}<\varepsilon\right) \). Zeigen Sie
\( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1}\left\|H_{u}(x, y)\right\|_{F}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1}|\Delta u(x, y)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . \)
Hierein ist \( \|A\|_{F}:=\left\|\left(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\right)\right\|_{2} \) für \( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j} \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \).
Problem/Ansatz:
Wir hatten bemekrt, dass die gegebene Funktion u ∈ C³([0, 1]²) ist, das heißt, sie hat stetige Ableitungen bis Ordnung 3 hat. Wir hatten überlegt ∥H u(x, y)∥²F dx dy = |∆u(x, y)|² dx dy mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu zeigen, aber wir sind uns bei dem ansatz generell nicht sicher.
