Wie viele Lösungen habe die folgenden Gleichungssysteme?

Question

Aufgabe:

Wie viele Lösungen habe die folgenden Gleichungssysteme? Geben Sie eine geeignete Begründung an - eine explizite Angabe der Lösung ist nicht erforderlich.

Problem/Ansatz:

-2x₁+x₂+2x₃=3

4x₁-8x₂+4x₃=4

Löse ich das ganze mithilfe des Gauß-Verfahren oder wie komme ich auf die Lösungen?

Comments

In der Aufgabe steht extra "eine explizite Angabe der Lösung ist nicht erforderlich"

D.h. die Aufgabe ist nicht das LGS mit dem Gauss zu lösen, sondern man braucht nur eine kurze Begründung schreiben, warum es hier unendlich viele Lösungen gibt.

Willst du dir trotzdem die Mühe machen das LGS zu lösen, dann habe ich noch eine zusätzliche Antwort geschrieben.

Answer 1

Jede der beiden Gleichungen entspricht geometrisch interpretiert einer Ebene.

Ebenen können identisch oder parallel sein oder sich schneiden. Da die Normalenvektoren der Ebenen linear unabhängig sind, schneiden sich die Ebenen. Die Punkte der Schnittgeraden entsprechen den Lösungen des Gleichungssystems.

Da auf einer Geraden unendlich viele Punkte liegen, gibt es unendlich viele Lösungen.

:-)

Answer 2

Das System ist unterbestimmt.

https://www.matopt.de/grundlagen/loesung-unterbestimmte-gleichungssysteme.html

Comments

Achtung. Unterbestimmt bedeutet erstmal nur das man weniger Gleichungen als Unbekannte hat. Das lässt noch nicht auf die Anzahl der Lösungen schließen. Einzig allein genau eine Lösung kann es nicht geben. Das LGS

x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 3

ist auch unterbestimmt, hat aber keine Lösung.

Answer 3

MontyPython hat sehr gut erklärt, warum es hier unendlich viele Lösungen gibt.

Willst du jetzt noch die Lösungen wissen, geht man z.B. wie folgt vor:

- 2·x + y + 2·z = 3
4·x - 8·y + 4·z = 4

II/2 + I

4·z - 3·y = 5

Setze ein Freiheitsgrad y = r

4·z - 3·r = 5 --> z = 0.75·r + 1.25

4·x - 8·r + 4·(0.75·r + 1.25) = 4 --> x = 1.25·r - 0.25

Damit lautet die Lösung in Abhängigkeit von r

x = 1.25·r - 0.25
y = r
z = 0.75·r + 1.25

Das ist in der analytischen Geometrie eine Gerade

X = [-0.25, 0, 1.25] + r·[1.25, 1, 0.75]