Anhand von Bedingungen Ableitung bestimmen

Question

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Von den Funktionen \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( y: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei bekannt, dass sie differenzierbar sind und
\( F\left(\left(\begin{array}{c} x \\ y(x) \end{array}\right)\right)=0 \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R}^{2} \)
sowie \( D F(0)=(1,2,3) \) und \( y(0)=0 \) erfüllen. Es ist \( D y(0)=(A, B) \) mit \( A, B \in \mathbb{R} \). Bestimme \( A \) und \( B \).

Hätte hier an Kettenregel gedacht, bin mir aber nicht sicher wie die Kettenregel für eine Funktion F(x,y(x)) aussehen würde. Bringt der Ansatz überhaupt was?

Answer 1

Es ist hier hilfreich, sich in jedem Schritt klar zu machen, was für Vektoren (aus welchem Raum) da stehen.

Wir haben also \(F(x,y(x))=0\) konstant für alle \(x\in R^2\) und \(DF(0,0,0)=(1,2,3)\).

Bezeichnet man die Ableitung von \(F\) nach \(x\) mit \(F_x\) (für \(y\) analog), so ist also \((1,2,3)=DF(0,0,0)=(F_x(0,0,0),F_y(0,0,0))\) mit \(F_x(0,0,0)=(1,2)\) und \(F_y(0,0,0)=3\).

Die Ableitung (mit Kettenregel) von \(F(x,y(x))=0\) nach \(x\) (beachte: \(x\in R^2\)) lautet:

\(F_x(x,y(x))\cdot 1 + F_y(x,y(x))\cdot y'(x) =(0,0)\), wobei "\(\cdot 1\)" weil innere Ableitung \(=1\) und \(y'(x)=Dy(x)\).

Nun setze alle Angaben in diese Gleichung ein und erhalte leicht \((A,B)\).