Prüfen Sie, ob B, C, D positiv definit ist.

Question

Seien
$B=(2) \in \mathbb{R}^{1,1}, C=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2,2}, D=0 \in \mathbb{R}^{m, m}$
Prüfen Sie, ob $B, C, D$ positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit oder indefinit sind.

Answer 1

Eine quadratische symmetrische Matrix ist genau dann

• positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer als null sind;
• positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
• negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
• negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
• indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren.
  

Bestimme also die Egenwerte.

Answer 2

$B$:

$2x^2>0$ für alle $x\neq 0$, also ist $B$ positiv definit.

$C$:

Für $v=(1,0)$ ist $Q(v)=-1<0$ und

für $v=(0,1)$ ist $Q(v)=3 > 0$. Daher ist $C$ indefinit.

$D$:

Für beliebiges $v\in \mathbb{R}^n$

ist $Q(v)=0$, also $\geq 0$ und $\leq 0$, also sowohl

positiv, als auch negativ semidefinit.

Answer 3

Aloha :)

Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen:

1) Matrix $B$ hat den Eigenwert $2$, ist also positiv definit.

2) Matrix $C$ hat die Eigenwerte $(-1)$ und $3$, ist also indefinit.

3) Matrix $D$ hat den $m$-fachen Eigenwert $0$, ist also positiv und negativ semi-definit.