Prüfen Sie, ob B, C, D positiv definit ist.

Question

Seien
\( B=(2) \in \mathbb{R}^{1,1}, C=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2,2}, D=0 \in \mathbb{R}^{m, m} \)
Prüfen Sie, ob \( B, C, D \) positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit oder indefinit sind.

Answer 1

Eine quadratische symmetrische Matrix ist genau dann

• positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer als null sind;
• positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich null sind;
• negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner als null sind;
• negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner oder gleich null sind und
• indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren.
  

Bestimme also die Egenwerte.

Answer 2

\(B\):

\(2x^2>0\) für alle \(x\neq 0\), also ist \(B\) positiv definit.

\(C\):

Für \(v=(1,0)\) ist \(Q(v)=-1<0\) und

für \(v=(0,1)\) ist \(Q(v)=3 > 0\). Daher ist \(C\) indefinit.

\(D\):

Für beliebiges \(v\in \mathbb{R}^n\)

ist \(Q(v)=0\), also \(\geq 0\) und \(\leq 0\), also sowohl

positiv, als auch negativ semidefinit.

Answer 3

Aloha :)

Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen:

1) Matrix \(B\) hat den Eigenwert \(2\), ist also positiv definit.

2) Matrix \(C\) hat die Eigenwerte \((-1)\) und \(3\), ist also indefinit.

3) Matrix \(D\) hat den \(m\)-fachen Eigenwert \(0\), ist also positiv und negativ semi-definit.