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Es seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige, exponentialverteilte Beobachtungen mit Parameter \( \theta>0 \), \( n \in \mathbb{N} \).
(a) Schreiben Sie das statistische Modell zu dieser Situation auf.
(b) Prüfen Sie, ob
\( T_{n}=\left(\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2} \)
ein erwartungstreuer Schätzer der \( \operatorname{Varianz} \operatorname{Var}\left(X_{1}\right) \) ist.
(c) Bestimmen Sie für jedes \( n \in \mathbb{N} \) eine Konstante \( \alpha_{n}>0 \), sodass durch
\( T_{\alpha_{n}}=\alpha_{n} \min \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) \)
ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert \( E\left(X_{1}\right) \) definiert wird.
Aufgabe:
Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler
