Zwischenwertsatz Anwendungsbeispiel Aufgabe

Question

Aufgabe: Seienf,g:[0,1]→R stetig mit f(0)=0,f(1)=2undg(0)=−1,g(1)=3.
Zeigen Sie, dass es einen Punkt x in [0,1] mit f(x) = g(x) gibt.

Problem/Ansatz:meine idee wäre zwischenwertsatz da stetig und kompaktes Intervall aber wie zeige ich das? Es gilt ja f(0) <= c <= f(1) und g(0) <= c <= g(1) also existieren ja je ein x aus dem intervall sodass gilt f(x) = c und g(x) = c aber wie zeigt man dann f(x) = g(x) ?

Comments

Wende den ZWS auf die Funktion h := f - g an.

Answer 1

\(f,g\) stetig in \([0,1]\Rightarrow h:=g-f\) stetig in \([0,1]\).

Es ist \(h(0)=-1\) und \(h(1)=1\).

Nun wende den Zwischenwertsatz an.

Comments

Ah es als komposition zu betrachten sehr schlau, hätte ich auch selber drauf kommen können, vielen Dank für die Hilfe. Weil das existiert ja ein x aus [0,1] mir (f - g) (x) = 0 und so f(x) = g(x)

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komposition

Naja, so kann man das nicht sagen. Aber du meinst

sicher das Richtige ;-)