Aufgabe für Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

seien f: ℝ → ℝ, g: ℝ → ℝ stetige Funktionen mit Eigenschaften:

a)  für alle reellen Zahlen ist g(x)=g(x+2)

b) für alle reellen Zahlen ist g(x+1)=f(x)

Problem/Ansatz:

wie zeigt man dass es eine reelle Zahl t gibt sodass f(t)=g(t)? ich glaube mit Zwischenwertsatz oder? aber wie?

Comments

Zwischenwertsatz ist doch gut.

Du willst hier ein \( t \) finden, s.d. \( f(t) = g(t) \). Man betrachtet da häufig die Differenzfunktion $$ h ~:~ \mathbb R \to \mathbb R, ~x \mapsto f(x)-g(x) = g(x+1)-g(x) $$ und zeigt, dass diese eine Nullstelle hat.

Ist \( h \) stetig? Kannst du den MWS auf h anwenden?

Wenn du das geklärt hast unterscheidest du die Fälle \( h \equiv 0 \): hier ist nichts zu zeigen.

Falls \( h \not\equiv 0 \) musst du zeigen, dass zwei Zahlen \( x_1 \neq x_2 \) mit $$ h(x_1) < 0 < h(x_2) $$ existieren. Das ist nicht so schwer, probier's mal.