Wie bestimmt man zu dieser Matrix die Hauptvektoren?

Question

Aufgabe:

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(4,4) \mathrm{mit} \)

\( A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & -1 \end{array}\right) . \)

Wie bestimme ich zu dieser Matrix die hauptvektoren?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, das Du die Eigenwerte bestimmt hast?

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\2&5&3&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrrr}-2&1&0&0\\0&-2&1&0\\0&0&-2&1\\2&5&3&-3\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

Erhalte aus \(\left(\lambda -2 \right) =0 \to\lambda = 2 \to \small EV= \left(\begin{array}{r}1 \\2\\8 \\4\\\end{array}\right)  \)

Suche HV zu \(\left(\lambda + 1 \right)^{3} =0 \to\lambda =-1 \to \small EV= \left(\begin{array}{r}-1 \\1\\1 \\1\\\end{array}\right)  \)

HV ∈ Kern (A-λE)^N mit dim (Kern (A-λE)^N) = 3 ∧ HV ¬∈ Kern (A-λE)^(N-1)

N=3

\(\small HVKandidaten1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-3&-3&-1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) ∉ Kern (A-λE)^{N-1} \)

(A - (-1) E) HVKandidaten1

\(\small HV2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-2&-3&-1\\1&1&0\\0&1&1\\-1&-3&-2\\\end{array}\right)\)

(A - (-1) E) HV2

\(\small HV1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&-2&-1\\1&2&1\\-1&-2&-1\\1&2&1\\\end{array}\right)\)

Nun bildet eine Spaltenkombination aus den HV(*) einen Satz Hauptvektoren