Gruppe Primitiv Element , Beweis

Question

Aufgabe:

Es sei p eine ungerade Primzahl und [r] eine Restklasse modulo p. [r] heißt “primitiv”, wenn [r]
die multiplikative Gruppe (Z/pZ)* erzeugt. Wir nehmen an, daß [r] primitiv ist.
Zu zeigen:
• Ist p ≡ 1 mod 4, dann ist auch [−r] primitiv.
• Ist p ≡ 3 mod 4, dann ist ordp[−r] = (p−1)/2

Answer 1

Zu 1.:

Ich lasse mal die lästigen Klammern weg.

Es ist \(-1=r^{(p-1)/2}\), also

\(-r=(-1)r=r^{(p-1)/2+1}=r^{(p+1)/2}\).

Nun ist \(r^s\) genau dann primitiv, wenn \(ggT(s,p-1)=1\) ist,

in unserem Falle also \(ggT((p+1)/2,p-1)=1\).

\(p\) hat die Gestalt \(p=1+4k\), daher

\(ggT((p+1)/2,p-1)=ggT(1+2k,4k)=1\), q.e.d.

Zu 2.:

Gehe hier ähnlich vor mit \(p=3+4k\) ....