Aufgabe:
Es sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben mit
\( f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \exp \left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)+2023 . \)
a)Berechnen Sie den Gradienten von \( f \).
Ich habe folgende partielle Ableitungen:
\( \begin{array}{l} f\left(x_{1}, x_{3}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)}+2023 \\ f_{x_{1}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot 2 x_{1} \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} +\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot(-1) \ \\ f_{x_{2}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot x_{3}^{2} \\ f_{x_{3}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{21}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot 2x_{2} x_{3}\end{array} \)
Ich bitte um Überprüfung, ob ich die partiellen Ableitungen richtig gerechnet habe.
b) Berechnen Sie die Richtungsableitung von \( f \) im Punkt \( (0,0,0) \) in Richtung
\( d=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,1) . \)
c) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion
\( \frac{f}{\exp (2023)} \)
Zu den Teilaufgaben b) und c) folgt noch was.
