Bestimmen Sie t so, dass der Punkt P(2 + t|1 + 2t| t) den Abstand 5 von der Ebene E hat.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie t so, dass der Punkt P_t (2 + t|1 + 2t| t) den Abstand 5 von der Ebene E: 6x₁+2x₂- 3x₃= 0 hat.
Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Wie gehe ich hier vor?

Du wiederholst das Kapitel 'Abstand eines Punktes von einer Ebene' und bist dann im Stande den Abstand des Punktes P_t von der Ebene E in Abhängigkeit von t auszudrücken. Diesen Ausdruck setzt du gleich 5 und löst nach t auf.

Comments

Kommen hier aber auch wieder 2 Lösungen raus? Mit 5 und -5?

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Kommen hier aber auch wieder 2 Lösungen raus? Mit 5 und -5?

Ja - eine Ebene im Raum hat ja immer zwei Seiten. Und der gesuchte Punkt kann ja auf jeder der beiden Seiten liegen. Folglich muss man einmal \(5\) und einmal \(-5\) für die Distanz zur Ebene vorgeben.

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Die Distanz ist immer \(5\), nie \(-5\).

Zwei Lösungen gibt es aber trotzdem, merkst du selbst beim Rechnen.

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Die Distanz ist immer 5, nie \(-5\).

Ok - dann habe ich mit 'Distanz' wohl den falschen Begriff gewählt. Wie nennt man denn dann den Wert, der bei einer gegebenen Ebene \(E\) mit $$E: \quad \vec{n}^T \vec{x} - d = 0 \quad |\vec{n}| = 1$$und einem Punkt \(P\) mit ... $$\vec{n}^T P - d = \dots$$... berechnet wird?

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Mir ist da kein besonderer Name bekannt. Es muss halt der Betrag von ... gleich der Distanz sein.

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@jellox: anbei die Aufgabe in Geoknecht3D

klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren um einen besserebn räumlichne Eindruck zu bekommen. Und man sieht dann auch den zweiten Punkt mit \(t=-7\).

Bem.: die beiden grünen Vierecke stehen für die identsich Ebene \(E\).

Answer 2

Aloha :)

Du wählst einen beliebigen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt, also in der Ebene liegt. Hier bietet sich der Punkt \(A(0|0|0)\) an.

Von diesem Punkt \(A\) ziehst du einen Vektor \(\vec v\) zum Punkt \(P_t(2+t|1+2t|t)\):$$\vec v=\vec p_t-\vec a=\begin{pmatrix}2+t\\1+2t\\t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+t\\1+2t\\t\end{pmatrix}$$

Diesen Vektor \(\vec v\) projezierst du auf den Normalenvektor \(\vec n=(6;2;-3)^T\)$$d=\left|\vec v\cdot\vec n^0\right|=\left|\frac{\vec v\cdot\vec n}{\sqrt{\vec n\cdot\vec n}}\right|=\left|\frac{6\cdot(2+t)+2\cdot(1+2t)+(-3)\cdot t}{\sqrt{6^2+2^2+(-3)^2}}\right|=\left|\frac{7t+14}{7}\right|=\left|t+2\right|$$und erhältst so den Abstand \(d\) des Punktes \(P_t\) von der Ebene.

Dieser Abstand soll gleich \(5\) sein:$$5\stackrel!=d=|t+2|\implies \pink{t=3}\;\lor\;\pink{t=-7}$$