Aloha :)
Du wählst einen beliebigen Punkt, der die Ebenengleichung erfüllt, also in der Ebene liegt. Hier bietet sich der Punkt \(A(0|0|0)\) an.
Von diesem Punkt \(A\) ziehst du einen Vektor \(\vec v\) zum Punkt \(P_t(2+t|1+2t|t)\):$$\vec v=\vec p_t-\vec a=\begin{pmatrix}2+t\\1+2t\\t\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+t\\1+2t\\t\end{pmatrix}$$
Diesen Vektor \(\vec v\) projezierst du auf den Normalenvektor \(\vec n=(6;2;-3)^T\)$$d=\left|\vec v\cdot\vec n^0\right|=\left|\frac{\vec v\cdot\vec n}{\sqrt{\vec n\cdot\vec n}}\right|=\left|\frac{6\cdot(2+t)+2\cdot(1+2t)+(-3)\cdot t}{\sqrt{6^2+2^2+(-3)^2}}\right|=\left|\frac{7t+14}{7}\right|=\left|t+2\right|$$und erhältst so den Abstand \(d\) des Punktes \(P_t\) von der Ebene.
Dieser Abstand soll gleich \(5\) sein:$$5\stackrel!=d=|t+2|\implies \pink{t=3}\;\lor\;\pink{t=-7}$$