Potenzreihe und Konvergenzbereich

Question

Aufgabe:

Wo konvergiert die Reihe $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (x-1)^k$$

Problem/Ansatz:

Die Lösung ist Potenzreihe mit $$a_k=  \frac{(-1)^{k-1}}{k}$$ und x_0=1

Meine Frage: Woher weiß ich dass x_0 gleich 1 ist? Das war in der Aufgabenstellung nicht gegeben

Dann sagen die der Konvergenzbereich ist $$K_1(1)= ]0,2[ $$

Wie kommen die auf die 0 und die 2?

Comments

Wie lautet bei Euch die Standard-Form einer Potenzreihe?

Wie habt Ihr Konvergenzradius definiert?

Welche Kriterien kennt Ihr zur Berechnung des Konvergenzradius?

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Der Konvergenzbereich stimmt so nicht. Korrekt ist \((0,2]\), siehe die Antworten unten.

Answer 1

Hallo

a) weil man Potenzreihen immer mit ak(x-x0)^k schreibt.

dass wenn x-1=0 die reihe konvergiert ist klar. bei x-1=±1 ist es die alternierende harmonische reihe, von der man die Konvergenz kennt

und x-1 von -1 bis 1  heisst x=0 bis 2

Gruß lul

Answer 2

Betrachtung der beiden Randpunkte:

Für x=0 erhält man \(-\sum_{k=1}^{\infty}1/k\), also divergent

wegen harmonischer Reihe.

Für x=2 erhält man die "alternierende harmonische" Reihe,

die z.B. nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.