Question

Bestiminen Sie den Konvergenzbereich für die Potenzreihe

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k}(x-4)^{k} \)
Hinweis: Berechnen Sie anhand des Wurzel- oder des Quotientenkriteriums den Konvergenzradius \( r \). Untersuchen Sie anschließend die Konvergenz der Reihe an den Grenzen des Konvergenzbereichs, d.h. an den Punkten \( x \) mit \( |x-4|=r \).

Meine Rechnung:

 $$r=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\frac{2^n}{n}}{\frac{2^{n+1}}{n+1}}|=\frac{1}{2}$$

Was ist jetzt mit "Untersuchen Sie anschließend die Konvergenz der Reihe an
den Grenzen des Konvergenzbereichs" gemeint? Ich verstehe auch das Prinzip nicht. Also was genau gefragt ist.

Answer 1

Die Reihe konvergiert also sicher für x aus dem Intervall

]  3,5  ;   4,5  [ .

Jetzt ist die Frage wie es an den Randpunkten aussieht.

Da sagt der Konvergenzradius nämlich nix drüber.

Also musst du Untersuchen für x=3,5  und für x=4,5.

Da gibt es einmal die harmonische Reihe (konvergiert nicht)

und am anderen rand die alternierende harmonische Reihe,

die konvergiert.

Answer 2

Aloha :)

Den Konvergenzradius \(r=\frac12\) hast du richtig besimmt. Daraus folgt der Konvergenzbereich:$$|x-4|<r\implies|x-4|<\frac12\implies-\frac12<x-4<\frac12\implies-\frac12+\frac82<x<\frac12+\frac82$$Also konvergiert die Reihe für \(\frac72<x<\frac92\).

Die Randbereiche des Konvergenzbereichs musst du nun noch separat untersuchen:

$$p\left(\frac72\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k}\left(\frac72-4\right)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k}\left(-\frac12\right)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}=-\ln(2)$$$$p\left(\frac92\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k}\left(\frac92-4\right)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k}\left(\frac12\right)^k=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{2^k}{k}\,\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\to\infty$$Für \(x=\frac72\) erhalten wir die Potenzreihe von \(-\ln(2)\), für \(x=\frac92\) die harmonische Reihe.

Der Konvergenzbereich liegt also bei: \(\frac72\le x<\frac92\).