Bestimmen Sie den Rest nach Teilen von p durch (x-1)(x+2)

Question

Hallo, ich verstehe den Lösungsansatz dieser Aufgabe leider nicht. Könnte ihn mir bitte jemand im Detail erklären ? Dankes schonmal!

Text erkannt:

Beispiel
Es sei \( p \in \mathbb{R}[x] \) mit \( p(1)=5 \) und \( p(-2)=-1 \). Bestimmen Sie den Rest nach Teilen von \( p \) durch \( (x-1)(x+2) \)
Lösung
Es seien \( q \) und \( r \) Polynome mit
\( p=q(x-1)(x-2)+r \)
und \( r=0 \) oder \( \operatorname{deg}(r)<\operatorname{deg}(x-1)(x+2)=2 \). Der Fall \( r=0 \) können wir ausschließen, denn \( p(1)=5 \) impliziert \( (x-1) \chi p \). Somit hat \( r \) die Form
\( r=a x+b \)

Text erkannt:

für irgendwelche reellen Zahlen \( a \) und \( b \). Einsetzen von \( x=1 \) und \( x=-2 \) ergibt
\( 5=p(1)=a+b, \quad-1=p(-2)=(-2 a+b) \)
und folglich \( a=2 \) und \( b=3 \). Somit ist \( r=2 x+3 \)

Answer 1

Der Lösungsansatz kommt direkt aus dem Satz über die Division mit Rest. Nach diesem gibt es zu jedem \(p, v\) eindeutig bestimmte \(q, r\) mit

        \(p = q\cdot v + r\)

und

        \(r = 0 \vee\deg r < \deg p\).

Comments

Aber ich verstehe überhaupt nicht was ich hier rechnen muss. Kannst du es mir bitte näher erläutern?

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Da ist nicht viel mit Rechnen. Hauptsächlich geht es um Argumentieren. Gerechnet wrid eigentlich nur, wo das Glechungssytem

        \(\begin{aligned}5 &= \phantom{-2}a+b\\-1&=-2a+b\end{aligned}\)

gelöst wird.

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Ok danke schonmal. Und wo setze ich auf die x = 1 und x = -2 eigentlich ein?

Und wie komm ich auf mein Gleichungssystem?

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Die rechte Seite des Gleichungssystems kommt von

      "Somit hat \( r \) die Form \( r=a x+b \)".

Es wurden \(x = 1\) und \(x = -2\) in diese Gleichung eingesetzt.

Die linke Seite des Gleichungssystems kommt daher, dass an den Stellen \(x=1\) und \(x=-2\) der Term  \(q\cdot(x-1)(x+2)\) den Wert \(0\) hat und somit wegen

        \(p = q\cdot(x-1)(x+2) + r\)

\(p(1) = r(1)\) und \(p(-2) = r(-2)\) sind.