Aloha :)
Die Flasche-beschreibende Funktion lautet:$$f\colon[2;12]\to[0;\infty)\,,\,f(x)=\sqrt{\frac{8x}{4x^2+8}}=\left(\frac{8x}{4x^2+8}\right)^{\frac12}$$
Bei der Rotation dieser Kurve um die x-Achse, entsteht an der Stelle \(x_0\) ein Kreis senkrecht zur x-Achse, mit Mittelpunkt auf der x-Achse und dem Radius \(r=f(x_0)\). Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi r^2=\pi f^2(x)\). Um das Volumen der Flasche zu erhalten, müssen wir die Flächen all dieser Kreise entlang der der x-Achse addieren:$$V=\int\limits_2^{12}\pi f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{2}^{12}\left(\frac{8x}{4x^2+8}\right)^1\,dx$$Damit haben wir schon mal \(\pink{A=2}\), \(\pink{B=12}\) und \(\pink{C=1}\) gefunden.
Das Integral ist ein Standard-Integral, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist:$$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln\left|g(x)\right|+\text{const}$$sodass wir das Volumen direkt hinschreiben können:$$V=\pi\left[\ln(4x^2+8)\right]_2^{12}=\pi\left(\ln(584)-\ln(24)\right)=\pi\ln\left(\frac{584}{24}\right)=\pi\ln\left(\frac{\pink{73}}{\pink3}\right)$$womit auch \(\pink{D=73}\) und \(\pink{E=3}\) gefunden sind.
