Bestimmen Sie A, B, C, D und E

Question

Aufgabe:

Das Profil einer Flasche sei durch f:[2,12]→[0,∞[ mit f(x)= √((8x)/(4x²+8)) beschrieben.

Das Volumen der Flasche ist V = π * $\int\limits_{A}^{B}$ ((8x)/(4x^2+8))^C dx = π * ln(D/E), wobei A,B,C,D,E∈N und D/E vollständig gekürzt ist. Bestimmen Sie A, B, C, D und E.

Ich würde mich sehr über einen Ansatz freuen.

Comments

$$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{8x}{4x^{2}+8}}\quad x\in\left\{2\le x\le12\right\}$$Bist Du sicher, dass die Funktion so heißt?

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f₁(x) = √((8x)/(4x²+8))x = 2x = 12Zoom: x(-1…14) y(-5…5)

Man könnte da z.B. auch durch 4 kürzen.

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Ja, das ist die Funktion.

Ich habe inzwischen A=2, B=12, C=1, D=73 und E=3 raus. Meint ihr das stimmt?

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Ja, stimmt genau so.

Answer 1

Aloha :)

Die Flasche-beschreibende Funktion lautet:$$f\colon[2;12]\to[0;\infty)\,,\,f(x)=\sqrt{\frac{8x}{4x^2+8}}=\left(\frac{8x}{4x^2+8}\right)^{\frac12}$$

Bei der Rotation dieser Kurve um die x-Achse, entsteht an der Stelle $x_0$ ein Kreis senkrecht zur x-Achse, mit Mittelpunkt auf der x-Achse und dem Radius $r=f(x_0)$. Die Fläche dieses Kreises ist $\pi r^2=\pi f^2(x)$. Um das Volumen der Flasche zu erhalten, müssen wir die Flächen all dieser Kreise entlang der der x-Achse addieren:$$V=\int\limits_2^{12}\pi f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{2}^{12}\left(\frac{8x}{4x^2+8}\right)^1\,dx$$Damit haben wir schon mal $\pink{A=2}$, $\pink{B=12}$ und $\pink{C=1}$ gefunden.

Das Integral ist ein Standard-Integral, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist:$$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx=\ln\left|g(x)\right|+\text{const}$$sodass wir das Volumen direkt hinschreiben können:$$V=\pi\left[\ln(4x^2+8)\right]_2^{12}=\pi\left(\ln(584)-\ln(24)\right)=\pi\ln\left(\frac{584}{24}\right)=\pi\ln\left(\frac{\pink{73}}{\pink3}\right)$$womit auch $\pink{D=73}$ und $\pink{E=3}$ gefunden sind.

Answer 2

Die Flasche ist ein Rotationskörper, entstanden durch Rotation des Graphen von $f$ um die x-Achse. Schau die Formel für das Volumen von Rotationskörpern nach und vergleiche mit der Formel für V in der Aufgabe. Das klärt schon vieles.

Answer 3

Hallo

da das Volumen $\int\limits_{A}^{B} f^2(x)dx$ ist C=1

dann löse das Integral du siehst im Zähler steht die Ableitung des Nenners, also substituiere den Nenner mit u. dann setze A und B. offensichtlich 2 und 12  in die Grenzen ein. (durch π kannst du ja direkt kürzen).

Gruß lul

Comments

Fehlt da nicht ein Faktor π vor dem Integral?

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Hallo

ja π hatte ich schon gekürzt, aber bei V müsste es noch stehen.

Danke für die Verbesserung.

lul