Sei F \mathbb{F} F ein Körper. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über F \mathbb{F} F(a) für F=F3 \mathbb{F}=\mathbb{F}_{3} F=F3 :x−y+2z=1x+2y=0y−z=1. \begin{aligned} x-y+2 z & =1 \\ x+2 y & =0 \\ y-z & =1 . \end{aligned} x−y+2zx+2yy−z=1=0=1.
{i,j,a}→A(i)+=A(j)⋅a\{i,j,a\} → A(i) += A(j) \cdot a{i,j,a}→A(i)+=A(j)⋅a
{ {1, 2, -2},{1, 3, 1}, {2, 3, 1}, {2, 3}, {2, 1, -1} };
→ (1000010000−2−1) mod 3→ (100001000012) \small \to \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&-1\\\end{array}\right) \,mod \,3\quad \to \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&2\\\end{array}\right)→(10001000−200−1)mod3→(100010001002)
Du kannst es genauso lösen wie in R\mathbb{R}R oder jedem anderen Körper (es geht nur um die Rechenregeln, die sind in allen Körpern gleich): Z.B. durch Umformen und Einsetzen.
Konkret für F3\mathbb{F}_3F3: Man muss modulo 3 rechnen, d.h. jede auftretende Zahl durch ihren 3er Rest ersetzen, negative Zahlen durch Addieren von Vielfachen von 3 ins positive verschieben.
Vermeide dividieren (verlangt mehr Denkarbeit).
Hier kannst Du mithilfe von Gleichung 2 und 3 die Unbekannten x bzw. z durch y ausdrücken, alles in Gleichung 1 einsetzen und damit y erhalten. Aus y dann leicht x und z.Vergiss am Ende die Probe nicht!
Was erhältst Du als Lösung?
Gleichung 1 liefert x+2y+2z=1x+2y+2z=1x+2y+2z=1. Wegen Gleichung 2 also 2z=12z=12z=1, also
z=2z=2z=2. Gleichung 3 ergibt dann y=1+z=0y=1+z=0y=1+z=0.
Gleichung 2 ergibt dann x=0x=0x=0.
Als Lösung bekommt man (x,y,z)=(0,0,2)(x,y,z)=(0,0,2)(x,y,z)=(0,0,2)
Ich nummeriere mal die Gleichungen von oben nach unten durch mit (1),(2),(3).
Es ist günstig auszunutzen, dass in F3\mathbb F_3F3 gilt:2=−12=-12=−1Damit erhalten wir(2)⇔x−y=0⇔x=y(2) \Leftrightarrow x-y=0 \Leftrightarrow x=y(2)⇔x−y=0⇔x=y⟹x=y in (1)−z=1⇔z=−1=2\stackrel{x=y\: in\:(1) }{\Longrightarrow}-z=1\Leftrightarrow z=-1 =2⟹x=yin(1)−z=1⇔z=−1=2(3)⇔y=1+z=0(3)\Leftrightarrow y=1+z = 0(3)⇔y=1+z=0Also (x,y,z)=(0,0,−1)=(0,0,2)(x,y,z)= (0,0,-1)=(0,0,2)(x,y,z)=(0,0,−1)=(0,0,2).
x= -2y
z= y-1
in I einsetzen:
-2y-y+2y-2 =1
-y= 3
y= -3
x= 6
z= -4
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