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Sei F \mathbb{F} ein Körper. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über F \mathbb{F}
(a) für F=F3 \mathbb{F}=\mathbb{F}_{3} :
xy+2z=1x+2y=0yz=1. \begin{aligned} x-y+2 z & =1 \\ x+2 y & =0 \\ y-z & =1 . \end{aligned}

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{i,j,a}A(i)+=A(j)a\{i,j,a\} → A(i) += A(j) \cdot a

{ {1, 2, -2},{1, 3, 1}, {2, 3, 1}, {2, 3}, {2, 1, -1} };

(100001000021)mod3(100001000012) \small \to \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&-1\\\end{array}\right) \,mod \,3\quad \to \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&2\\\end{array}\right)

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Du kannst es genauso lösen wie in R\mathbb{R} oder jedem anderen Körper (es geht nur um die Rechenregeln, die sind in allen Körpern gleich): Z.B. durch Umformen und Einsetzen.

Konkret für F3\mathbb{F}_3: Man muss modulo 3 rechnen, d.h. jede auftretende Zahl durch ihren 3er Rest ersetzen, negative Zahlen durch Addieren von Vielfachen von 3 ins positive verschieben.

Vermeide dividieren (verlangt mehr Denkarbeit).

Hier kannst Du mithilfe von Gleichung 2 und 3 die Unbekannten x bzw. z durch y ausdrücken, alles in Gleichung 1 einsetzen und damit y erhalten. Aus y dann leicht x und z.
Vergiss am Ende die Probe nicht!

Was erhältst Du als Lösung?

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Gleichung 1 liefert x+2y+2z=1x+2y+2z=1. Wegen Gleichung 2 also 2z=12z=1, also

z=2z=2. Gleichung 3 ergibt dann y=1+z=0y=1+z=0.

Gleichung 2 ergibt dann x=0x=0.

Als Lösung bekommt man (x,y,z)=(0,0,2)(x,y,z)=(0,0,2)

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Ich nummeriere mal die Gleichungen von oben nach unten durch mit (1),(2),(3).

Es ist günstig auszunutzen, dass in F3\mathbb F_3 gilt:2=12=-1Damit erhalten wir(2)xy=0x=y(2) \Leftrightarrow x-y=0 \Leftrightarrow x=yx=yin(1)z=1z=1=2\stackrel{x=y\: in\:(1) }{\Longrightarrow}-z=1\Leftrightarrow z=-1 =2(3)y=1+z=0(3)\Leftrightarrow y=1+z = 0Also (x,y,z)=(0,0,1)=(0,0,2)(x,y,z)= (0,0,-1)=(0,0,2).

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x= -2y

z= y-1

in I einsetzen:

-2y-y+2y-2 =1

-y= 3

y= -3

x= 6

z= -4

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