Question

Sei \( \mathbb{F} \) ein Körper. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme über \( \mathbb{F} \)
(a) für \( \mathbb{F}=\mathbb{F}_{3} \) :
\( \begin{aligned} x-y+2 z & =1 \\ x+2 y & =0 \\ y-z & =1 . \end{aligned} \)

Answer 1

\(\{i,j,a\} →  A(i) += A(j) \cdot a\)

{ {1, 2, -2},{1, 3, 1}, {2, 3, 1}, {2, 3}, {2, 1, -1} };

\( \small \to \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&-1\\\end{array}\right) \,mod \,3\quad \to   \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&2\\\end{array}\right)\)

Answer 2

Du kannst es genauso lösen wie in \(\mathbb{R}\) oder jedem anderen Körper (es geht nur um die Rechenregeln, die sind in allen Körpern gleich): Z.B. durch Umformen und Einsetzen.

Konkret für \(\mathbb{F}_3\): Man muss modulo 3 rechnen, d.h. jede auftretende Zahl durch ihren 3er Rest ersetzen, negative Zahlen durch Addieren von Vielfachen von 3 ins positive verschieben.

Vermeide dividieren (verlangt mehr Denkarbeit).

Hier kannst Du mithilfe von Gleichung 2 und 3 die Unbekannten x bzw. z durch y ausdrücken, alles in Gleichung 1 einsetzen und damit y erhalten. Aus y dann leicht x und z.
Vergiss am Ende die Probe nicht!

Was erhältst Du als Lösung?

Answer 3

Gleichung 1 liefert \(x+2y+2z=1\). Wegen Gleichung 2 also \(2z=1\), also

\(z=2\). Gleichung 3 ergibt dann \(y=1+z=0\).

Gleichung 2 ergibt dann \(x=0\).

Als Lösung bekommt man \((x,y,z)=(0,0,2)\)

Answer 4

Ich nummeriere mal die Gleichungen von oben nach unten durch mit (1),(2),(3).

Es ist günstig auszunutzen, dass in \(\mathbb F_3\) gilt:$$2=-1$$Damit erhalten wir$$(2) \Leftrightarrow x-y=0 \Leftrightarrow x=y$$$$\stackrel{x=y\: in\:(1) }{\Longrightarrow}-z=1\Leftrightarrow z=-1 =2$$$$(3)\Leftrightarrow y=1+z = 0$$Also \((x,y,z)= (0,0,-1)=(0,0,2)\).

Answer 5

x= -2y

z= y-1

in I einsetzen:

-2y-y+2y-2 =1

-y= 3

y= -3

x= 6

z= -4