Formeln einsetzen und Differentiale auflösen

Question

geg.: Sprungfunktion x(t)= 0, für t<1 und 6, für t≥1

Aufgabe:

1. Teil

Bestimmen sie schrittweise den Übertragungsfaktor G= \( \frac{e2(t)}{x(t)} \) . Ermitteln sie zunächst die allgemeine Berechnungsformel in Abhängigkeit von G₁ und G₂, sowie anschließend den Wert von G für G₁=1, G₂=2
2. Teil

Ermittle y(t) mit den gegebenen Formeln.

1. \( \frac{d}{dt} \)y(t) = e₅(t)K_I2   oder y(t)= K_I2 * \( \int\limits_{-\infty}^{t} \) *e₅(τ) dτ

2. \( \frac{d}{dt} \)e₅(t) = e₂(t)K_I1   oder e₅(t)= K_I1 * \( \int\limits_{-\infty}^{t} \) *e₂(τ) dτ

3. e₂(t)=e₁(t)G₁

4. e₁(t)= x(t)-e₄(t)

5. e₃(t) =e₂(t)

6. e₄(t)=e₃(t)G₂

Problem/Ansatz:

Bekomme am Ende 1. und 2. nicht weg und hänge bei x(t)G₁=e₂(t)(1+G₂G₁).

Bin mir auch nicht sicher, ob mein y(t) hier mit in dem G ist oder ob ich es raus kicken muss. In der nächsten Aufgabe soll ich die Antwort y(t) auf einen Einheitssprung berechnen.

Berechnung von y(t):

7. e₂(t)= e₁(t)G₁ , 4. in 7.

8. e₂(t)= (x(t)-e₄(t))G₁, 6.in 8.

9. e₂(t)=(x(t)-e₃(t)G₂)G₁,5. in 9.

10. e₂(t)=(x(t)-e₂(t)G₂)G₁, nach e₂(t)

11. e2(t)= \( \frac{x(t)G1}{1+G1G2} \)

Answer 1

Wenn Du soweit gekommen bist, ist doch alles gut. Dann erhältst Du doch \(G=\frac{G_1}{1+G_1G_2}\), was ein üblicher Übertragungsfaktor ist. Wie Du darauf gekommen bist, ist (für mich) nicht nachvollziehbar, weil mir der Zusammenhang der Gleichungen fehlt (und in 4. ist wohl ein Tippfehler).

Z.B. \(G_2\) kann ja nur über \(e_3\) reinkommen, aber \(e_3\) tritt nur einmal auf. Merkwürdig.

Aber Du wirst das wissen, und dann passt es doch.

Generell hat im Übertragungsfaktor weder y noch x was zu suchen.

Comments

Hallo, danke! Der Übertragungsfaktor ist jetzt klar.
Bei 4. hat habe ich ein "=" aus dem ersten "-" gemacht.

Ich verzweifle halt, weil ich mir mit dem y(t) unsicher bin.

Ich komm am Ende auf ein Doppelintegral.
Normalerweise können wir die Integrale und Differentiale immer so umschreiben, dass die sich auflösen.
Wenn aber am Ende nur noch x(t) übrig bleibt kann auch ein Integral oder Differential übrig bleiben, da ich ja eine Eingangsfunktion habe und die integrieren bzw. differenzieren kann.

Ich komme auf
y(t)= K_I1K_I2* \( \frac{G1}{1+G1G2} \)\( \int\limits_{- \infty}^{t} \) \( \int\limits_{- \infty}^{t} \) *x(τ) dτ

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Mir ist nicht klar, was Du willst oder suchst. Mein Kommentar bezog sich auf \(G=\frac{e2(t)}{x(t)}\), laut Aufgabe, und Deine Herleitung. Du sagst jetzt, das ist geklärt. Ok. Und was dann noch? Die Aufgabe wäre dann ja erledigt.

Wenn Du weiteres ausrechnen willst, solltest Du das erstmal klar formulieren. Ich blicke da nicht durch (siehe meine vorigen Kommentar), was ist was usw.

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Ich kann für y(t) auch eine neue Aufgabe schreiben.

Ich muss am Ende y(t) mit den gegebenen Formeln ausrechnen.

Der Übertragungsfaktor ist eine Teilaufgabe gewesen.

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Achso, muss einem ja gesagt werden, steht ja nicht da. Ich schaue es mir nachher nochmal an.

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Das wäre cool! Danke! Ich schreib in der Zwischenzeit nochmal meinen Lösungsweg bis zu e₂(t) auf.

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Aha, anscheinend hast Du noch einen weiteren Tippfehler korrigiert (bez. \(e_3\)), nun ist alles klarer und ich komme auch auf Deinen Zusammenhang 11. und am Ende auf \(y''(t)=\frac{K_{I1}K_{I2}G}{1+G_1G_2} x(t)\).

(Ich bevorzuge Integrale möglichst spät ins Spiel zu bringen.)

Um \(y(t)\) zu erhalten, muss man jetzt natürlich noch zweimal integrieren und etwaige Anfangsbedingungen einbringen.

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Hey, danke! Dann muss ich jetzt nochmal nachfragen. Wie kommst du auf y''(t)?

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In Gleichung 1. steht ja schon \(y'\), diese Gleichung leitet man nochmal ab, um Gleichung 2. einsetzen zu können. Das ist ja in Schaltungen das übliche um auf eine Dgl 2. Ordnung zu kommen.

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In Gleichung 1. steht ja schon \(y'\), diese Gleichung leitet man nochmal ab, um Gleichung 2. einsetzen zu können. Das ist ja in Schaltungen das übliche um auf eine Dgl 2. Ordnung zu kommen.

Ach, jetzt sehe ich ein weitere Ergänzung. Wenn \(x(t)\) die angegebene Sprungfunktion ist. ist die Integration am Ende ja auch leicht.

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Ah, okay. Das ist natürlich kreativ. Ich habe gar nicht daran gedacht, dass man solche Freiheit hat.
Also
y(t)= \( \frac{KI1 KI2 G1}{1+G1 G2} \) *3x^2 für t ≥1

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Am Ende \(...3t^2\), nicht \(3x^2\). Und die Lösung 0 für \(t< 1\) sollte auch noch angegeben werden. Sonst ok.

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Natürlich t statt x. Ich habe schon lange kein Mathe mehr gemacht.
für t<1 dann y(t)= \( \frac{KI1 KI2 G1}{1+G1 G2} \) *0.
Kann man hier das c beim Integrieren einfach weglassen?

1000 Dank schonmal!

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Gur, dass Du aufpasst. Da fehlt noch ein \(+C\). Also nochmal vollständig:

$$y(t)=\begin{cases}\frac{K_{I1}K_{I2}G_1}{1+G_1G_2}3t^2 +C & \text{falls } t\ge 1\\ C & \text{falls } t<1\end{cases}$$

In Anwendungen ist oft \(y(0)=0\), dann wäre \(C=0\). aber da wir das nicht wissen, muss das \(+C\) drin bleiben.

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Super! Man kann auf der Seite hier immer noch nicht dem Helfer oder Helferin spenden oder?

Schönen Abend noch!

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Weiß nicht, ist auch nicht nötig. Es freut mich geholfen zu haben, vor allem da man merkt, dass Du es verstanden hast und nicht nur eine Lösung zum Abtippen gesucht hast.

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Achso, klar. Macht mir doch auch Spaß! Danke nochmal!