Die Navier-Stokes-Gleichung lautet
\( \rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v} \cdot \nabla \vec{v}\right)=\nabla p+\mu \nabla^{2} \vec{v} \)
mit der Dichte \( (\rho) \), dem Geschwindigkeitsvektor \( (\vec{v}) \), der Zeit \( (t) \), dem Druck \( (p) \), der (dynamischen) Viskosität \( (\mu) \), sowie der partiellen Ableitung \( (\partial) \), dem NablaOperator \( (\nabla) \) und dem Laplace-Operator \( \left(\nabla^{2}\right) \).
Aufgabe 1) Schreiben Sie auf, welche Terme in der Gleichung Folgendes beschreiben
- Hydrostatische Spannungskomponente: ρ(\( \frac{dv}{dt} \))
- Konvektive Komponenten: ρv*∇v
Aufgabe 2) Leiten Sie ausgehend von der obigen Navier-Stokes-Gleichung eine Gleichung \( \mathrm{ab} \), mit der eine eindimensionale Unviskose Strömung beschrieben werden kann.
Lösung:
Eine Gleichung für eine eindimensionale, unviskose Strömung kann aus der Navier-Stokes-
Gleichung abgeleitet werden, indem wir annehmen, dass die Viskosität \( \mu \) null ist (unviskose Strömung), und dass die Geschwindigkeit \( \vec{v} \) nur eine Komponente hat (eindimensionale Strömung). In diesem Fall vereinfacht sich die Navier-Stokes-Gleichung zu:
\( \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v \frac{\partial v}{\partial x}\right)=\frac{\partial p}{\partial x} \)
wobei \( v \) die eindimensionale Geschwindigkeit und \( x \) die eindimensionale Position darstellt.
Sind meine Lösungen richtig?
LG
